复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
复变函数与积分变换
（修订版）
主编：马柏林
（复旦大学出版社）
——课后习题答案
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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
习题一
1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数
3?5i13. e?iπ/4;;(2?i)(4?3i);?7i?1i1?i
π?2?2?22 ?π?①解e?cos????i???i????isin????π?i4
?1?8?0i??1 8??1?i3???1?i3??1Im, ???????0． 22????∴Re??④解： ∵
??1?i3??????2??3?4??4?2??2??22??1?3?3???1???3??23?5i??1?7i?1613②解： 3?5i?????i
7i?1??3???1??3???82i?3????3?1+7i??1?7i?2525
?③解： ?2?i??4?3i??8?3?4i?6i?5?10i ④解： ?3?1?i?3513=?i???i i1?i2221?8?0i??1 8???1?i∴Re????1?i3?3?, ． Im?1??????0?22???
2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)
z?a????(a?); z3;??1?i3?;??1?i3?;in. z?a?2??2?33k??1,??n?2k?k?． ⑤解： ∵in??kn?2k?1????1??i,
∴当n?2k时，Re?i????1?，Im?i??0；
nkn①
则
： ∵设z=x+iy
当n?2k?1时，Re?in??0，
k?x?a??iy?z?a?x?iy??a?x?a??iy?????x?a??iy??????22z?a?x?iy??a?x?a??iy?x?a??y ∴ Im??222?z?a?x?a?yRe???2?z?a??x?a??y2Im?in????1?．
3.求下列复数的模和共轭复数
?2?i;?3;(2?i)(3?2i);1?i. 2,
①解：?2?i?4?1?5．
z?a?2xy． ??22z?a???x?a??y ?2?i??2?i
?3??3
②解： 设z=x+iy ∵
z??x?iy???x?iy??x?iy???x?y?2xyi??x?iy?33222222??x?x2?y2??2xy2???y?x?y??2xy?i②解：?3?3
③解：?2?i??3?2i??2?i3?2i?5?13?65．
?2?i??3?2i???2?i???3?2i???2?i???3?2i??4?7i
?x3?3xy2??3x2y?y3?i④解：,
∴
Re?z3??x3?3xy21?i1?i2?? 222Im?z3??3x2y?y3．
?1?i??1?i?1?i? ???22?2?③解： ∵
3?1?i3??1?i3??????28????3?1??1?3???1???8????3???1??3??????22?3? ?3?????34、证明：当且仅当z?z时，z才是实数．
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证明：若z?z，设z?x?iy，
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则有 x?iy?x?iy，从而有?2y?i?0，即y=0
∴z=x为实数．
若z=x，x∈?，则z?x?x． ∴z?z． 命题成立．
3?5i2π2π??;i;?1;?8π(1?3i);?cos?isin?. 7i?199??3①解：
?3?5i?3?5i??1?7i??
7i?1?1?7i??1?7i?5、设z,w∈?，证明： z?w≤z?w
证明∵z?w2??z?w???z?w???z?w??z?w?
?z?z?z?w?w?z?w?w38?16i19?8i17i?????e502558??π?arctan．
19其中
②解：i?ei??其中??．
i?e
iπ2π2
?z?zw?z?w?w?z?w≤2222??2Re?z?w??2
③解：?1?eiπ?eπi
④解：?8π?1?3i??16π???π.
∴?8π?1?3i??16π?e32?πi323z?w?2z?w222
?z?w?2z?w ??z?w?22π2π?cos?isin⑤解：??? 99?? ∴z?w≤z?w．
2π2π?解：∵??isin??1． ?cos99??36、设z,w∈?，证明下列不等式．
z?w?z?2Rez?w?w z?w?z?2Rez?w?w
2222??2
i?π.3i2π2π?93cos?isin?1?e?e∴? ??99??322π??2
8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)
3?3i的平方根.
z?w?z?w?2z?w22?22?
2并给出最后一个等式的几何解释．
证明：z?w?z?2Re?z?w??w在上面第五
22⑴i的三次根． 解：
3题的证明已经证明了．
下面证z?w?z?2Re?z?w??w．
222ππ??i??cos?isin??cos22??132kπ?ππ2kπ?2?isin233?k?0,1,2?
∴
z1?cosππ31?isin??i6622
∵z?w??z?w???z?w???z?w??z?w?
2．
?z?z?w?w?z?w22
2?z?2Rez?w?w．从而得证．
22??25531z2?cosπ?isinπ???i
6622∴z?w?z?w?2z?w
?22?
z3?cosπ?isinπ??969631?i 22几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．
7.将下列复数表示为指数形式或三角形式
⑵-1的三次根 解：
3?1??cosπ?isinπ??cos132kπ+π2kπ?π?isin33?k?0,1,2?
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∴z1?cosπ?isinπ?1?3323 i2相切，则CA⊥L?．过C作直线平行L?，则有∠BCD=β，∠ACB=90° 故α-β=90°
z2?cosπ?isinπ??1 z3?cosπ?isinπ???5353123i 2
所以L?在α处切于圆周T的关于β的充
⑶3?3i的平方根． 解：
∴
3?3i?πi?22?4 3?3i=6???i?6?e??22????6?eπi4?12ππ??2kπ?2kπ???4?isin4?6??cos??22?14要条件是α-β=90°．
12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.
(1)argz?π;(2)z?1?z;(3)1?z?i|?2;(4)Rez?Imz;?k?0,1?
iππ?∴z1?6???cos?isin??64?e8
88??πi99?84 z2?6??． cosπ?isinπ?6?e??88??1419141π(5)Imz?1且z?2.解：
(1)、argz=π．表示负实轴．
9.设z?ei2πn,n?2. 证明：1?z?i?2πn?zn?1?0
证明：∵z?e
∴zn?1，即zn?1?0．
?zn?1??0
∴?z?1??1?z?又∵n≥2． ∴z≠1 从而1?z?z2+?zn?1?0
11.设?是圆周{z:z?c?r},r?0,a?c?rei?.令
??z?a??, L???z:Im???0?b????
(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=．
12其中b?ei?.求出L?在a切于圆周?的关于?的充分必要条件. 解：如图所示．
(3)、1<|z+i|<2
解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
因为L?={z: Im??z?a??=0}表示通过点a且?b?方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆
（4）、Re(z)>Imz．
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