压轴小题突破练
1.与函数、不等式有关的压轴小题
1.(2017届枣庄期末)定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(3)＝0，且当x＞0时，f(x)＞－xf′(x)恒成立，则函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C
解析 因为当x＞0时，[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)＞0，所以xf(x)在(0，＋∞)上单调递增，又函数f(x)为奇函数，所以函数xf(x)为偶函数，结合f(3)＝0，作出函数y＝xf(x)与y＝－lgx＋1的图象，如图所示：
||
由图象知，函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点有3个，故选C.
2.设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，?x∈R，有f(－x)＋f(x)＝x2，且在(0，＋∞)上f′(x)＜x，若f(4－m)－f(m)≥8－4m，则实数m的取值范围为( ) A.[－2，2] C.[0，＋∞) 答案 B
1
解析 令g(x)＝f(x)－x2，则g(x)＋g(－x)＝0，函数g(x)为奇函数，在区间(0，＋∞)上，g′(x)＝f′(x)－x
2＜0，且g(0)＝0，
则函数g(x)是R上的单调递减函数，故 11
f(4－m)－f(m)＝g(4－m)＋(4－m)2－g(m)－m2
22＝g(4－m)－g(m)＋8－4m≥8－4m，
据此可得g(4－m)≥g(m)，∴4－m≤m，m≥2.
ln x，x＞0，??
3.(2017·马鞍山三模)已知函数f(x)＝?m若f(x)－f(－x)＝0有四个不同的根，则m的取值范围是
，x<0，??x
B.[2，＋∞)
D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
( ) A.(0，2e) C.(0，1) 答案 D
解析 若m<0，那么f(x)＝f(－x)只会有2个交点，所以m＞0， 若f(x)＝f(－x)有四个实根，根据对称性可知当x＞0时，
m
ln x＝－有两个实根，即－m＝xln x有两个实根，设y＝xln x，y′＝ln x＋1，
x
111
0，?时， y′<0，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，所以当x令ln x＋1＝0，解得x＝，当x∈??e?ee11111
＝时，y＝xln x有最小值－，即－m＞－?m<，所以0 2x2π4.(2017·福建省福州第一中学质检)已知函数f(x)＝，x∈[0，1]，函数g(x)＝asinx－2a＋2(a＞0)，若存 6x＋1在x1，x2∈[0，1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是( ) 14?A.??2，3? 24?C.??3，3? 答案 A 解析 当x∈[0，1]时，f(x)＝ 3π 2－2a，2－a?，的值域是[0，1]，g(x)＝asin x－2a＋2(a＞0)的值域是?2??6x＋12x2 1 0，? B.??2?1?D.??2，1? B.(0，e) 10，? D.??e? 33 2－2a，2－a?≠?，若[0，1]∩?2－2a，2－a?因为存在x1，x2∈[0，1]使得f(x1)＝g(x2)成立，所以[0，1]∩?2?2???3 ＝?，则2－2a＞1或2－a＜0， 2 14?14 即a<或a＞，所以a的取值范围是??2，3?，故选A. 23 ??2f?x－2?，x∈?1，＋∞?，5.(2017届河南天一大联考)设函数f(x)＝?若关于x的方程f(x)－loga(x＋1)＝0(a＞ ?1－|x|，x∈[－1，1]，? 0，且a≠1)在区间[0，5]内恰有5个不同的根，则实数a的取值范围是( ) A.(1，3) C.(3，＋∞) 答案 C 解析 要使方程f(x)－loga(x＋1)＝0(a＞0且a≠1)在区间[0，5]内恰有5个不同的根，只需y＝f(x)与y＝loga(x＋1)的图象在区间[0，5]内恰有5个不同的交点，在同一坐标系内作出它们的图象如图： B.(45，＋∞) D.(45，3) ??loga3＜2， 要使它们在区间[0，5]内恰有5个不同的交点，只需?得a＞3，故选C. ?loga5＜4，? 2 ??x＋?4a－3?x＋3a，x＜0， 6.已知函数f(x)＝?(a＞0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x ?loga?x＋1?＋1，x≥0? 恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( ) 2 0，? A.??3?12??3? ??C.??3，3?∪4 ?? 23? B.??3，4? 12??3? ??D.??3，3?∪4 ?? 答案 C ?4a－3 解析 由题设可得?－≥0， 2 ?3a≥1， 0＜a＜1， 13 解得≤a≤.结合图象可知方程在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别只有 34 2 一个实数根.当3a＞2，即a＞时，则x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x只有一个解，则Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0， 331212 解得a＝或a＝1(舍去)；当1≤3a≤2，即≤a≤时，符合题设条件.综上，所求实数a的取值范围是≤a≤ 433333 或a＝.故选C. 4 7.(2017·四川成都一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1，0]时，f(x)51 －，?上的所有实数解之和为( ) ＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在??22?A.－7 B.－6 C.－3 D.－1 答案 A 解析 因为函数是偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数是周期为2的偶函数，画出函数图象如图： 51 －，?上有7个交点，中间点是x＝－1，其余6个交点关于x＝－1对称，所以任一组对两个函数在区间??22?称点的横坐标之和为－2，所以这7个交点的横坐标之和为3×(－2)－1＝－7，故选A. x ??e，x≥0， 8.(2017·湖南长沙一中月考)已知实数f(x)＝?若关于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的 ?lg?－x?，x＜0，? 实根，则t的取值范围为( ) A.(－∞，－2] C.[－2，1] 答案 A 解析 设m＝f(x)，作出函数f(x)的图象，如图所示，则当m≥1时，m＝f(x)有两个根，当m<1时，m＝f(x)有一个根，若关于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实根，则等价为m2＋m＋t＝0有两个不同的实数根m1，m2，且m1≥1，m2＜1，当m＝1时，t＝－2，此时由m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2，f(x)＝1有两个根，f(x)＝－2有一个根，满足条件；当m≠1时，设h(m)＝m2＋m＋t，则需h(1)<0即可，即1＋1＋t<0，解得t<－2.综上实数t的取值范围为t≤－2，故选A. B.[1，＋∞) D.(－∞，－2]∪[1，＋∞) 9.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3f 2(x)＋2af(x)＋b＝0的不同实根的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 A 解析 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，说明方程f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0的两根为x1，x2， ∴方程3f 2(x)＋2af(x)＋b＝0的解为f(x)＝x1或f(x)＝x2，若x1 ∴x1是极大值，f(x)＝x1有两解，x1＜x2，f(x)＝x2＞f(x1)只有一解， ∴此时只有3解， 若x1＞x2，即x1是极小值点，x2是极大值点，由于f(x1)＝x1， ∴x1是极小值，f(x)＝x1有2解，x1＞x2，f(x)＝x2
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