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2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 设a?7?1，则3a?12a?6a?12? （ ） A.24. B. 25. C. 47?10. D. 47?12.
2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝ （ ） A.72. B. 10. C.
3．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程x?2[x]?3?0的解的个数为 （ ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）
A.
232105. D. 73. 3314. B. . C. . D. . 14727AD
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin?CBE＝ （ D ）
21610A.. B. . C. . D. . 33310
6．设n是大于1909的正整数，使得
EBCn?1909为完全平方数的n的个数是 （ ）
2009?nA.3. B. 4. C. 5. D. 6.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
221．已知t是实数，若a,b是关于x的一元二次方程x?2x?t?1?0的两个非负实根，则(a?1)(b?1)的
2最小值是____________.
2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为______.
223．如果实数a,b满足条件a?b?1，|1?2a?b|?2a?1?b?a，则a?b?______.
224．已知a,b是正整数，且满足2(1515?)是整数，则这样的有序数对(a,b)共有_____对. ab
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第一试答案： ACCBDB；－3，2mn，－1，－7
第二试 （A）
一．（本题满分20分）已知二次函数y?x2?bx?c(c?0)的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC＝2，求b和c的值.
解: （1）易求得点C的坐标为(0,c)，设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1?x2??b，x1x2?c.
设⊙P与y轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则OD?cOA?OBx1x2???1.
OCcc因为c?0，所以点C在y轴的负半轴上，从而点D在y轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点C的坐标为(0,?1)， 即c??1. 又AB?x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2?(?b)2?4c?b2?4，所以
S△ABC?
112AB?OC?b?4?1?2，解得b??23. 22二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求I1I2.
解 作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F.
FB在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，AB=AC2+BC2?5.
DEI1AI216AC29?，故BD=AB?AD?， 又CD⊥AB，由射影定理可得AD=5AB5CD=AC2?AD2?12. 513(AD?CD?AC)?. 25C因为I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以I1E＝
连接DI1、DI2，则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠I1DC＝∠I1DA＝∠I2DC＝∠I2DB
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3I1E32?5?＝45°，故∠I1DI2＝90°，所以I1D⊥I2D，DI1?.
sin?ADI1sin45?5同理，可求得I2F?44222，DI2?. 所以I1I2＝DI1?DI2?2. 55三．（本题满分25分）已知a,b,c为正数，满足如下两个条件：
a?b?c?32 ①
b?c?ac?a?ba?b?c1??? ② bccaab4证明：以a,b,c为三边长可构成一个直角三角形. 证法1 将①②两式相乘，得(b?c?ac?a?ba?b?c??)(a?b?c)?8， bccaab(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2???8， 即
bccaab(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2?4??4??0， 即
bccaab(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2???0， 即
bccaab(b?c?a)(b?c?a)(c?a?b)(c?a?b)(a?b?c)(a?b?c)???0，
bccaab(b?c?a)[a(b?c?a)?b(c?a?b)?c(a?b?c)]?0， 即
abc(b?c?a)(b?c?a)2[2ab?a2?b2?c2]?0，即[c?(a?b)2]?0， 即
abcabc(b?c?a)(c?a?b)(c?a?b)?0， 即
abc所以b?c?a?0或c?a?b?0或c?a?b?0，即b?a?c或c?a?b或c?b?a.
即
因此，以a,b,c为三边长可构成一个直角三角形.
32?2a32?2b32?2c1???， bccaab41222变形，得1024?2(a?b?c)?abc ③
4证法2 结合①式，由②式可得
又由①式得(a?b?c)?1024，即a?b?c?1024?2(ab?bc?ca)， 代入③式，得1024?2[1024?2(ab?bc?ca)]?22221abc，即abc?16(ab?bc?ca)?4096. 4(a?16)(b?16)(c?16)?abc?16(ab?bc?ca)?256(a?b?c)?163
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??4096?256?32?163?0，
所以a?16或b?16或c?16.
结合①式可得b?a?c或c?a?b或c?b?a.
因此，以a,b,c为三边长可构成一个直角三角形.
第二试 （B）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.
解 因为BN是∠ABC的平分线，所以?ABN??CBN. 又因为CH⊥AB，所以
AHFNQPE?CQN??BQH?90???ABN?90???CBN??CNB，
因此CQ?NC.
CMB又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以?CFB?90???CHB，因此C、F、H、B四点共圆. 又?FBH=?FBC，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.
第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）已知a,b,c为正数，满足如下两个条件：
a?b?c?32 ①
b?c?ac?a?ba?b?c1??? ② bccaab4是否存在以a,b,c为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角. 解法1 将①②两式相乘，得(b?c?ac?a?ba?b?c??)(a?b?c)?8， bccaab(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2???8， 即
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(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2?4??4??0， 即
bccaab(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2???0， 即
bccaab(b?c?a)(b?c?a)(c?a?b)(c?a?b)(a?b?c)(a?b?c)???0，
bccaab(b?c?a)[a(b?c?a)?b(c?a?b)?c(a?b?c)]?0， 即
abc(b?c?a)(b?c?a)2[2ab?a2?b2?c2]?0，即[c?(a?b)2]?0， 即
abcabc(b?c?a)(c?a?b)(c?a?b)?0， 即
abc所以b?c?a?0或c?a?b?0或c?a?b?0，即b?a?c或c?a?b或c?b?a.
即
因此，以a,b,c为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
32?2a32?2b32?2c1???， bccaab41222变形，得1024?2(a?b?c)?abc ③
4解法2 结合①式，由②式可得
又由①式得(a?b?c)?1024，即a?b?c?1024?2(ab?bc?ca)， 代入③式，得1024?2[1024?2(ab?bc?ca)]?22221abc，即abc?16(ab?bc?ca)?4096. 4(a?16)(b?16)(c?16)?abc?16(ab?bc?ca)?256(a?b?c)?163
??4096?256?32?163?0，
所以a?16或b?16或c?16.
结合①式可得b?a?c或c?a?b或c?b?a.
因此，以a,b,c为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
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