2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

要证（1）++≤a2+b2+c2；因为abc＝1． 就要证：

+

+

≤a2+b2+c2；

即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2； 即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2； 2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0 （a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0； ∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．

∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号． 即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证． 故++≤a2+b2+c2得证．

（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立； 即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1． （a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数； （a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）（b+c）?（c+a）?；

当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号； ∵a，b，c为正数，且满足abc＝1． （a+b）≥2

；（b+c）≥2

；（c+a）≥2

；

当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号； ∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）（?b+c）（?c+a）≥3×8＝24；

当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；

故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证． 故得证．

【点评】本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法．

?

?

＝24abc

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