（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）若对任意a??3,4?，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围． 21．（本小题满分14分）
y2?1的左、右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶点，离心率已知椭圆x?42为5的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T． （1）求曲线C的方程；
（2）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1?x2?1；
uuruur（3）设?TAB与?POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且PAgPB≤15，求
S12?S22 的取值范围．
5
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供
参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该
题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 B 10 A
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其
中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．
11．0 12．?0,1? 13．35，10 14．62 15．2
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：f?分
????????tan????……………………………………………………………………………1?9??34????tan34………………………………………………………………………… ???1?tantan34tan3分
?…4分
3?1??2?3．……………………………………………………………………1?3
（2）解法1：因为f?5分
3???????????tan?????…………………………………………………………3444?????tan?????……………………………………………………………
…6分
………………………………………………………………?tan??2．
7分
所以
sin??2，即sin??2cos?． ① cos?22因为sin??cos??1， ② 由①、②解得cos??9分
所
以
221．………………………………………………………………………………5c????………………………………………………………………………………11o分 13?2??1??．………………………………………………………………………
5512分
解法2：因为f?5分
3???????????tan?????…………………………………………………………
44??34???tan?????……………………………………………………………
…6分
………………………………………………………………?tan??2．
7分
所
以
cos2??cos2??sin2?……………………………………………………………………………9分
cos2??sin2??…………………………………………………………………………10分 22cos??sin?1?tan2? ?………………………………………………………………………………
1?tan2?11分
?1?43??．……………………………………………………………………………1?4512分
17．（本小题满分12分）
（本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以
1?解
?a0．………………………………………………1分
得
?a?0．……………………………………………………………………………………………2分
（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1?10?(0.005?0.01)?0.85．…………3分
由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640?0.85?544人． …………………………………………………………………5分
（3）解：成绩在?40,50?分数段内的人数为40?0.05?2人，分别记为A，B．……………………6分
成绩在?90,100?分数段内的人数为40?0.1?4人，分别记为C，D，E，F．…………………7分
若从数学成绩在?40,50?与?90,100?两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：?A,B?，?A,C?，?A,D?，?A,E?，?A,F?，?B,C?，?B,D?，?B,E?，?B,F?，
?C,D?，
?C,E?，
?C,F?，
?D,E?，
?D,F?，
?E,F? 共15
种．…………………………………………9分
如果两名学生的数学成绩都在?40,50?分数段内或都在?90,100?分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在?40,50?分数段内，另一个成绩在
?90,100?分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：
?A,B?，?C,D?，?C,E?，?C,F?，?D,E?，?D,F?，?E,F?共7种．……………………
11分
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