函数
f(x)在
x?2a3处取得极大值
3?2a?4af????b．………………………………………………8分
327??由于对任意a??3,4?，函数f(x)在R上都有三个零点，
所以
?f???f??0???2a????0.?3?0即
?b?0,?3……………………………………………………………………10分 ?4a?b?0.??274a3?b?0．……………………………………………………………………………………解得?2711分
?4a3?4a34?33??4．………………因为对任意a??3,4?，b??恒成立，所以b??????2727?27?max13分
所
以
实
数
b的取值范围是
??4,0?．……………………………………………………………………14分
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
（1）解：依题意可得A(?1,0)，B(1,0)．…………………………………………………………………1分
y2设双曲线C的方程为x?2?1?b?0?，
b21?b2?5，即b?2． 因为双曲线的离心率为5，所以1所
以
双
曲
线
C的方程为
y2x??1．……………………………………………………………………3分
42（2）证法1：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），直线AP的斜率为k（k?0），
则
直
线
AP的方程为
y?k(x?1)，………………………………………………………………………4分
联
立
方
程
组
?y?k?x?1?,?………………………………………………………………………………5分 ?2y2?1.?x??4整理，得4?k2x2?2k2x?k2?4?0，
??解得
x??1或
4?k2x?4?k2．所以
4?k2x2?．…………………………………………………………6分
4?k24?k2同理可得，x1?．…………………………………………………………………………………24?k7分
所
以
x1?x2?1．……………………………………………………………………………………………8分
证法2：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2）， 则kAP?4分
因为kAP5分
y1y2，kAT?．…………………………………………………………………………x1?1x2?1y1y2y12y22?kAT，??所以，即．……………………………………22x1?1x2?1?x1?1??x2?1?y12y222?1，x2??1． 因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x?4421
即y12?4x12?1，y22?41?x22．…………………………………………………………………6分
所以7分
所
以
????4?x12?1??x1?1?2?4?1?x22??x2?1?2，即
x1?11?x2?．……………………………………………………x1?1x2?1x1?x2?1．……………………………………………………………………………………………8分
证法3：设点P(x1,y1)，直线AP的方程为y?4分
联
立
方
程
组
y1(x?1)，………………………………………x1?1y1?y??x?1?,?x?1?1…………………………………………………………………………5分 ?2?x2?y?1.??4222222?整理，得?4(x?1)?yx?2yx?y?4(x?1)?0， 11111??4(x1?1)2?y12解得x??1或x?．…………………………………………………………………6
4(x1?1)2?y12分
114(x1?1)2?y12x?x?将y?4x?4代入x?，得，即． 222xx4(x1?1)?y1112121所以x1?x2?1．…………………………………………………………………………………………8分
（3）解：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），
则PA???1?x1,?y1?，PB??1?x1,?y1?．
222因为PA?PB?15，所以??1?x1??1?x1??y1?15，即x1?y1?16．…………………………
9分
y12?1，所以x12?4x12?4?16，即x12?4． 因为点P在双曲线上，则x?421
因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1?x1?2．…………………………………………10分
111|AB||y2|?|y2|，S2?|OB||y1|?|y1|， 222122222222所以S1?S2?y2?y1??4?4x2???x1?1??5?x1?4x2．……………………………11
4因为S1?分
由（2）知，x1?x2?1，即x2?2设t?x1，则1?t?4，
1． x1S12?S22?5?t?设f?t??5?t?4． t4?2?t??2?t?4，则f??t???1?2?， 2ttt当1?t?2时，f??t??0，当2?t?4时，f??t??0， 所以函数f?t?在?1,2?上单调递增，在?2,4?上单调递减． 因为f?2??1，f?1??f?4??0，
22所以当t?4，即x1?2时，S1?S2??min?f?4??0．……………………………………………
12分
当t?2，即x1?2时，S1?S213分
22所以S1?S2的取值范围为?0,1?．……………………………………………………………………
?22?max?f?2??1．………………………………………………
14分
说明：由S1?S2?5?x1?4x2
22?22??5?4xx12?1，得?S12?S22?max?1，给1分．
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