浅谈连续性的证明与应用

浅谈连续性的证明与应用

函数的连续性是“数学分析”中的一个重要概念，在教学中务必高度重视，本文就连续 性概念的理解与应用谈点肤浅体会. 1关千连续性的定义

1.1函数，y=f(x)在x0连续的五种等价定义: (1) limf(x)?f(x0);

x?x0f(x)?f(x0); (2) limf(x)?lim?x?x0x?x0(3) ??????0，使当︱x-x0︱

f(x)?f(x0)??；

(4) lim?y?0；

?x?x0(5) ?xn?x0,limf(xn)?f(x0)

n??不管是哪种形式的定义，都指明了f(x)在x。近旁性态变化的实质:当△x?0时，?y?0 定义(l)包含了f(x)在x0连续的三个条件:f(x)在x。有定义; limf(x)存在(有限值)且

x?x0x?x0limf(x)?f(x0)只要缺少其中一个条件，则称x。为间断点，据此，间断点可分为两类:

第一类间断点：

1；可去间断点f(x0?0)?f(x0?0)?f(x0) 2；跳跃间断点f(x0?0)?f(x0?0)

(f(x。+0)，f(x。-0)都存在)

第二类间断点:f(x0+0)，f(x。-0)至少有一个不存在. 1.2函数y=f(x)在区间I上连续的定义.

函数y=f(x)在区间I上每一点都连续，称f(x)在区间I上连续.

函数y=f (x)在区间I上一致连续的定义:对???0,???0，使当x1,x2?I ,只 要x1?x2??时有f(x1)?f(x2)??

一致连续与连续的差别在于:当固定x。，在定义其连续性时，上述?是依赖于x。的选择， 记为?(x0)，一般地说，当f(x)在x。附近较为陡峭时，?(x0)较小;当f(x)在x0附近较为 平坦时，?(x0)较大;全体?(x0),x0?I可能没有正的下界，一致连续是对整体而言，实际

上

要求?(x0)有一个正的下界记作?(?) (只与?有关，与x。的位置无关)，确定了?(?)以后，对区间I上的一切点都适合，显然，一致连续性比连续性要求更苛刻. 1.3LIPsehitz连续

函数f(x)称为在区间I上Lipsehitz连续(又称满足Lipsehitz条件);如果存在常数L> 0，使得不等式

f(x1)?f(x2)?Lx1x2

对于所有x1x2任I都成立，，L称为LIPschitz常数· 1.4H6lder连续

如果f(x)定义于区间I，对于0???1 (及?x1,x2?I，存在常数H>0，恒有

f(x1)?f(x2)?Hx1?x2 (1)

则称f(x)在区间I上具有指数?的Holder连续.这里H>0是与?及点x1,x2:的选择无关 的正常数，满足不等式(1)的H的下确界记为H(f)，

H(f)?inff(x1)?f(x2)x1?x2

称为f(x)的H61der常数，显然，若Holder指数a=l，则Holder连续就变成Lipsehitz连续; 若f(x)在x。Holder连续，则f(x)必在x。连续，事实上，由f(x1)?f(x2)?Hx1?x2 0

在讨论几种连续性的关系时，考虑到f(x)在x。可微的定义:记?x?x?x0,?y?f(x)?f(x0)

f(x)?f(x0)?y?lim?f'(x0)（3）

?x?0?x?x?x0x?x0lim可见，f(x)在x。具有指数为?（0???1）的Hofder连续是介于f(x)在x。连续与f(x) 可微之间的一种性态，而f(x)在区间I上众Pschtz连续的要求更高于f(x)在区间了的可微. 各种连续性概念都是根据实际需要而定义的.例如，研究f(x)的Riemann积分的存在性 时，需要连续与一致连续的概念。研究初值问题

y'?f(x,y)yx?x0??(x0)

解的存在性时，需要f(x，y)关于y满足lipschitz条件,而研究函数f(z)的Cauchy型积分 的主值存在性时，需要f(z)在曲线上Holer连续，这些都在教科书中有详细论述. 2.1

连续性的证明

要证明一个函数f在某区间I上连续，只要在区间里任取一点x0?I，证明

?x?0limf(x)?f(x)

例1证明Riemann函数 R(x)={

1p (当x=为既约分数，q>0(当x为无理数) qq在无理点上连续，在有理点上间断. 证 1设x。为有理点， x=

op1为既约分数，q>O，则R(x。)= >0，由无理点的稠密 qq时?无理点列{x0}?x0。(当n??时)，但

R(xn)?R(x0)?0?11??0 ( ?n?N ) qq

即R(x.)~R(x。)，故R（x）在有理点间断.

2..(证明无理点上连续)设x?〔0，1〕为无理点，则R(x)=0，从R(x)的定义可以

看出，V?>0，R(x)>0的点x在〔0，1〕上最多只有有限个(事实上，要R(x)> ?>0, x必须是有理数，若x?qq1q，R?(?)??，则0?p?q?，可见满足此不等式的有

?ppq理数

p最多只有有限个个)，如此，可取??0充分小 ，使得（x0??,x0?? ），不含有qR（x）>

?的点，此即

?

Vx ? (x0??,x0??)，有︱R(x)-R(x0)︱=R(x)<

这就证明了R(x)在〔0，1〕内的无理点上连续.又因为R(x)以1为周期，所以R(x)在一切无 理点上连续.

例2证明在〔0，1〕上不可能定义一个如下函数，它在每一个有理点连续，而在无理点 不连续

证只要证明任何一个在〔0，1〕中有理点连续的函数f(x)，至少在一个无理点上连续 即可.

记(0，1)内有理点的全体为Q={r1,r2..........设t=?n?1n（n=1,2,3;………）r1?r1 2n1rn1?Q,f()在rn1处连续。对?1?0,?1?0,作I1(rn1??1,rn1??1)使r1?I1,I1?,I1?(0,1)

2且当x?I1时 有

f(x)?f(x1n)??1

再取rn2?I1,rn2?Q,但rn2?r1,r2,rn1

由f(x)在r2n连续，故对?存在?2?0,作I2?(rn2??2,rn2??2),使r1,r2,r1n?I2有

I2?1,当x?I2时，有f(x)?f(x2n)??2 22nnn显然上述取法是存在的，如此继续下去，到第n步取rnn，但rnn?Q，rnn?r1,r2.......rn?1

(由于In?1内有无穷多个有理点，这是可以办到的)，再由f(x)在rnn连续，

f(x)?f(xnn)??n

如此得到区间套(0,1)?I1?.....In?......且In?1?0(当n??) 2n由区间套定理存在x0??In。

n?1?下证x0是无理点且f(x)在x0连续。若x0是有理点，则有x0?rn0,取n?n0,由作法可知?

rn?In,此与rn0?x0??I?In矛盾，故x0为无理点

n?1最后证明f(x)在x0连续，对???0,由?n?0,(n??)，

可取?n??2,由于In?In?1,故x0为In的内点，所以x0?In

再取???n?x0?rn??n x?r?nn?x?0x?nr?所以有

f(x)?f(x0)?f(x)f(rn)?f(rn)?f(x0)?2?n??

2.2用定义证明f在区间I上致连续，通常的方法是设法证明f在l上LIPschitz连续，必 一致连续.

f(x)?x?21sinx?1xa>0.

为任一正常数试证f(x)在（0，a）内非一致连续，在（a，+?）上一致连续. 证（1）：证f在（a,+?）上一致连续，先证f满足lipschitz条件，设?x1,x2?(a,??),