第6讲 空间向量及其运算
一、选择题
1.(2017·黄冈模拟)已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数
m的值等于( )
3A. 2
B.－2
C.0
3
D.或－2 2
2m＋13m－1
解析 ∵a∥b，∴＝＝，解得m＝－2.
2m－m答案 B
2.(2017·海南模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin→→
〈CM，D1N〉的值为( ) 1A. 9
45 B. 9
25C.
9
2D. 3
→→
解析 如图，设正方体棱长为2，则易得CM＝(2，－2，1)，D1N＝(2，→→CM·D1N1→→→→
2，－1)，∴cos〈CM，D1N〉＝＝－，∴sin〈CM，D1N〉＝
→→9|CM||D1N|
?1?45. 1－?－?＝
9?9?
答案 B
3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么( ) →→→→
A.AE·BC＜AE·CD →→→→B.AE·BC＝AE·CD →→→→C.AE·BC＞AE·CD
→→→→
D.AE·BC与AE·CD的大小不能比较
1→→→→
解析 取BD的中点F，连接EF，则EF綉CD，因为〈AE，EF〉＝〈AE，CD〉＞90°，因
2→→→→→→→→为AE·BC＝0，∴AE·CD＜0，所以AE·BC＞AE·CD. 答案 C
4.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( ) A.－1
4
B. 3
5C. 3
7 D. 5
2
解析 由题意得，ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2).所以(ka＋b)·(2a－b)
1
7
＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝. 5答案 D
5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，→→
则AE·AF的值为( ) A.a
2
12 B.a212
C.a4
D.
32a 4
→→→
解析 如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
AE＝(a＋b)，AF＝c，
1→→1
∴AE·AF＝(a＋b)·c
22
112122
＝(a·c＋b·c)＝(acos 60°＋acos 60°)＝a. 444答案 C 二、填空题
6.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________.
解析 由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10. 即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，
→12→1
2
b·c－181
∴cos〈b，c〉＝＝＝－，
|b|·|c|12×1＋4＋42
∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°. 答案 60°
7.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________. →2→→→2
解析 |EF|＝(EC＋CD＋DF)
→2→2→2→→→→→→＝EC＋CD＋DF＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)
＝1＋2＋1＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，
→
∴|EF|＝2，∴EF的长为2. 答案
2
2
2
2
8.(2017·南昌调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中→→→→→→→→→
点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，现用基底{OA，OB，OC}表示向量OG，有OG＝xOA＋yOB
2
→
＋zOC，则x，y，z的值分别为________. →→→1→2→解析 ∵OG＝OM＋MG＝OA＋MN
231→2→→
＝OA＋(ON－OM) 23
1→?1→2?1→→
＝OA＋?（OB＋OC）－OA?
2?23?21→1→1→
＝OA＋OB＋OC， 633111∴x＝，y＝，z＝. 633111答案 ，，
633三、解答题
→→
9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC. →
(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c. (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.
→→
解 (1)∵c∥BC，BC＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)， →
∴c＝mBC＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)， ∴|c|＝（－2m）＋（－m）＋（2m）＝3|m|＝3， ∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).
(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又∵|a|＝1＋1＋0＝2，|b|＝（－1）＋0＋2＝5，
2
2
2
2
2
2
222a·b－110
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
|a|·|b|1010
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－
10
. 10
10.如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，
BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直
角坐标系Oxyz.
(1)写出点E，F的坐标； (2)求证：A1F⊥C1E；
→1→→
(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：A1F＝A1C1＋A1E.
2(1)解 E(a，x，0)，F(a－x，a，0).
3
(2)证明 ∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)， →→
∴A1F＝(－x，a，－a)，C1E＝(a，x－a，－a)， →→2
∴A1F·C1E＝－ax＋a(x－a)＋a＝0， →→
∴A1F⊥C1E，∴A1F⊥C1E.
(3)证明 ∵A1，E，F，C1四点共面， →→→
∴A1E，A1C1，A1F共面.
→→→→选A1E与A1C1为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A1F＝λ1A1C1→＋λ2A1E，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a) ＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， －x＝－aλ1，??
∴?a＝aλ1＋xλ2， ??－a＝－aλ2，
1→1→→解得λ1＝，λ2＝1.于是A1F＝A1C1＋A1E.
22
→→→→→→
11.在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝( ) A.－1
B.0
C.1
D.不确定
→→→→→→→→→
解析 如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC ＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a) ＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0. 答案 B
12.若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)叫向量p在基底{a，b，c}下的坐标.
已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是( ) A.(4，0，3) C.(1，2，3)
B.(3，1，3) D.(2，1，3)
解析 设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为x，y，z.则
p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，①
因为p在{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，
4
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