2013年全国数学竞赛考试试题详细参考答案

2013年全国数学竞赛考试试题详细参考答案

★13、如图，△ABC的三边长BC?a,　AC?b,　AB?c,　a,b,c都是整数，且a,b的最大公约数是2。点G和点I分别为△ABC的重心和内心，且?GIC?90?，求△ABC的周长.

另解：如图，连结GA，GB，过G，I作直线交BC、AC于点E、F，作△ABC的内切圆I，切BC边于点D。记△ABC的半周长为P，内切圆半径为r，BC，AC边上的高线长为ha,hb

S?ABC?rp?p(p?a)(p?b)(p?c) AFcGBIraEDCb(p?a)(p?b)(p?c) ?r?pr2易知：CD?p?c,在Rt?CIE中，DE?

p?c(p?a)(p?b)即DE?

p∴CE?CD?DE?(p?c)?(p?a)(p?b)ab?

pp又∵CI?EF,CI平分?ACB，所以CE＝CF 由S?ABC?S?ABG?S?BEG?S?AFG?S?FEC　

S?ABC1abha1abhb1ab??（a?)???（b?)??2???r 得：S?ABC＝32p32p32p即S?ABC＝S?ABC1p?b1p?aab?(?a?ha)??(?b?hb)??2?rp 323p23pp22整理得 2p?cp?3ab，即3ab?2p?cp?p(2p?c)?P(a?b) 设△ABC的周长为m，则m?2p?6ab为整数。 a?b12st由已知(a,b)?2，设a?2s,b?2t,且(s,t)?1,s,t都是正整数，代入上式，得m?

s?t∵(s,s?t)?1,(t,s?t)?1，∴s?t是12的约数，即s?t＝1，2，3，4，6，12

?s?1?s?2?s?3?s?5?s?11?s?7??????（s，t）＝1，得?t?1,?t?1,?t?1,?t?1,?t?1,?t?5 不妨设s?t，则

?m?6?m?8?m?9?m?10?m?11?m?35??????9 / 10

2013年全国数学竞赛考试试题详细参考答案

?s?7?经检验，只有?t?5符合题意，

?m?35?所以：a?14,b?10,c?11或a?10,b?14,c?11，即所求△ABC的周长为35。 14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．

解：当n＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．…………… 5分 当n＝5时，设a1，a2，，a5是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则a1，a2，，a5中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是a1，a2，，a5中必定有一个数是5．

若a1，a2，，a5中含1，则不含9．于是不含4（4＋1＋5＝10），故含6；于是不含3（3＋6＋1＝10），故含7；于是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．

若a1，a2，，a5中含9，则不含1．于是不含6（6＋9＋5＝20），故含4；于是不含7（7＋4＋9＝20），故含3；于是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．

综上所述，n的最小值为5．……………… 15分 ★★ 14、已知有6个互不相同的正整数a1，a2,,a6，且a1?a2??a6，从这6个数中任

意取出3个数，分别设为ai，aj,　ak，其中i?j?k。记f(i,j,k)?123?? aiajak证明：一定存在3个不同的数组(i,j,k)，其中1?i?j?k?6，使得对应着的3个f(i,j,k)两两之差的绝对值都小于0.5.（征求答案）

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