为长、宽、高，做长方体如图所示，可得长方体的外接球就是三棱锥D－ABC的外接球．因为球的半径为2，可得球的直径为4，所以长方体1
的体对角线长为4，得AB＋AC＋AD＝16.因为S△ABC＝2AB·AC，S△ABD
2
2
2
111＝2AB·AD，S△ACD＝2AC·AD，所以S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＝2(AB·AC＋AB·AD＋AC·AD)，因为AB·AC＋AB·AD＋AC·AD≤AB2＋AC2＋AD2＝16，当且仅当AB＝AC＝AD时，等号成立，所以当且仅当AB＝AC＝AD时，S△ABC＋S△ABD＋S△ACD取得最大值，且最大值为8.故选B.
7.[2015·西安八校联考]某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是________．
答案 2
1
解析 根据三视图可知该几何体为三棱柱，其体积V＝2×1×2×2＝2.
8.已知某几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图如图所示．记直观图中从点B出发沿棱柱的侧面到达PD1的中点R的最短距离为d，则d2＝________.
25
答案 2＋62
解析 将由正方体与直三棱柱构成的五棱柱沿侧棱BB1展开，如图所示．由图易知BR为从点B出发沿棱柱的侧面到达PD1的中点R的最短距离，即d＝BR.由三视图知A1B1＝BB1＝2，A1P＝PD1＝2，所以1232
PR＝2PD1＝2，所以B1R＝A1B1＋A1P＋PR＝2＋2，故d2＝BR2＝B1R
2
32?＋BB1＝2＋
??
?＋22＝＋62.
22?
2?2
25
9.已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面是边长为23的正三角形，该三棱柱存在一个与上、下底面和所有侧面都相切的内切球，则该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为________．
答案
5∶1
解析 由题意，三棱柱的内切球的半径r等于底面内切圆的半径，即r＝1，此时棱柱的高为2r＝2，底面外接圆的半径为2，所以三棱柱的外接球的半径R＝22＋12＝5.所以三棱柱的外接球与内切球的半R
径之比为r＝5∶1.
10．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，且球心O在线
段PC上，PA⊥平面ABCD，E为AB的中点，∠BCD＝90°.
(1)求证：OE∥平面PAD；
(2)若PA＝AB＝4，AD＝3，求三棱锥O－ADE的体积．
解 (1)证明：连接BD，设BD的中点为O′，连接OO′，O′E， 因为∠BCD＝90°，所以OO′⊥平面ABCD，又PA⊥平面ABCD， 所以OO′∥PA，又PA?平面PAD，所以OO′∥平面PAD. 又E为AB的中点，
所以O′E∥AD，即O′E∥平面PAD. 又OO′∩O′E＝O′， 所以平面OO′E∥平面PAD. 又OE?平面OO′E， 所以OE∥平面PAD.
1
(2)因为E为AB的中点，所以AE＝2AB＝2.
因为点P，A，C在球面上，O为球心，OO′⊥平面ABCD，PA⊥平面ABCD，
1
所以OO′＝2PA＝2.又AD＝3，
1111
所以V三棱锥O－ADE＝3×OO′×S△ADE＝3×OO′×2×AD×AE＝3
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