46 分大题保分练(二)
(建议用时：40 分钟)
17．(12 分)(2019·福州模拟)已知正项等比数列{a}的前 n 项和为 S，满足 S＋4S＝S，
na1＝1.
(1)求数列{an}的公比 q；
(2)令 bn＝an－15，求 T＝|b1|＋|b2|＋…＋|b10|的值． [解] (1){an}是正项等比数列， 若 q＝1，则 Sn＝na1＝n，
∴S2＝2,4S4＝4×4，S6＝6，不合题意．
a∴q≠1，从而 S1?1－qn?
n＝ 1－q .
由 S2＋4S4＝S6 可知
a2? a461?1－q1
?1－q? ＝a1?1－q?1－q 1 1－q ，
∴(1－－q ＋4·q2)＋4(1－q4)＝1－q6，而 q≠1，且 q＞0，
∴1＋4(1＋q2)＝1＋q2＋q4，即 q4－3q2－4＝0，
∴(q2－4)(q2＋1)＝0，∴q＝2.
(2)由(1)知 an－11－2 n＝2n，则 an 的前 n 项和 S 1－2nn＝ ＝2－1.
当 n≥5 时，bn＝2n－1－15＞0，n≤4 时，bn－1n＝2－15＜0，
∴T＝－(b1＋b2＋b3＋b4)＋(b5＋b6＋…＋b10)
＝－(a1＋a2＋a3＋a4－15×4)＋(a5＋a6＋…＋a10－15×6) ＝－S4＋S10－S4＋60－90 ＝S10－2S4－30
＝(210－1)－2×(24－1)－30
＝210－25－29
＝1 024－32－29
＝963.
18．(12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1
的菱形，∠DAB＝π
103 ，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA＝PD＝ 2 .
(1)证明：PB⊥BC；
(2)求点 A 到平面 PBC 的距离．
[解] (1)如图，取 AD 的中点 H，连接 PH，HB，BD.
n246
- 1 -
1 1
∵底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∴AD＝AB＝1，∴AH＝ AD＝ ，
2 2
由 BH2＝AB2＋AH2－2AB·AH·cos∠DAB，
1 1 1 3
得 BH2＝1＋ －2×1× × ＝ ，
4 2 2 4
3
∴BH＝ ，∴ AH2＋BH2＝AB2，
2
∴BH⊥AD.
∵PA＝PD，H 为 AD 的中点，
∴PH⊥AD，又 PH∩BH＝H，
∴AD⊥平面 PHB，又 PB? 平面 PHB，
∴AD⊥PB，又 AD∥BC， ∴PB⊥BC.
(2)∵AD∥BC，BC? 平面 PBC，AD 平面 PBC， ∴AD∥平面 PBC，
∴点 A 与点 H 到平面 PBC 的距离相等．
由(1)知 AD⊥平面 PHB，
∴BC⊥平面 PHB，又 BC? 平面 PBC， ∴平面 PBC⊥平面 PHB. 过点 H 作 HM⊥PB 于 M.
由平面 PHB∩平面 PBC＝PB，
知 HM 即点 H 到平面 PBC 的距离．
∵平面 PAD⊥平面 ABCD，
平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，
PH? 平面 PAD，PH⊥AD，∴PH⊥平面 ABCD，
又 BH? 平面 ABCD，∴PH⊥BH.
3 3
PH＝ PA2－AH2＝ ，BH＝ ，
2 2
∴PB＝ PH2＋BH2＝ 3，
3 3 × 22PH·BH 3
∴ HM＝ PB＝ ＝ .
4 3
19．(12 分)某城市先后采用甲、乙两种方案治理空气污染各一年，各自随机抽取一年(365
天)内 100 天的空气质量指数 API 的检测数据进行分析，若空气质量指数值在[0,300]内为合
格，否则为不合格．下表是甲方案检测数据样本的频数分布表，下图是乙方案检测数据样本
- 2 -
的频率分布直方图．
API
[0,50]
(50，100]
(100，
(150，
(200，
(250，
大于
150]
200]
250]
300]
300
天数
9 13 19 30 14 11 4
(1)将频率视为概率，求乙方案样本的频率分布直方图中 a 的值，以及乙方案样本的空气
质量不合格天数；
(2)根据频率分布直方图，求乙方案样本的中位数；
(3)填写 2×2 列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为该城市的空气质量指数值
与两种方案的选择有关．
甲方案
乙方案 合计
合格天数
不合格天数
合计
附：
P(K2≥k)
0.10
0.050
0.025
k
2.706 3.841 5.024
n?ad－bc?2
K2＝ ，n＝a＋b＋c＋d.
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
[解] (1)由频率分布直方图知，(0.0010＋0.003 0＋0.004 0＋0.005 0＋0.003 0＋0.001 8＋a)×50＝1，解得 a＝0.002 2，
∴乙方案样本的空气质量不合格天数为
0．002 2×50×100＝11(天)．
(2)由频率分布直方图得
(0.001 0＋0.003 0＋0.004 0)×50＝0.4，
又 0.005 0×50＝0.25，
0．4＋0.25＝0.65＞0.5，
∴中位数在(150,200]内，设中位数为 x，
则 0.4＋(x－150)×0.005 0＝0.5，
解得 x＝170，
- 3 -
∴乙方案样本的中位数为 170.
(3)由题可得到 2×2 列联表为
甲方案
乙方案
合计
合格天数
96
89
185
不合格天数
4
11
15
合计
100 100 200
将列联表中的数据代入公式得
200×?96×11－89×4?2 K2＝ ≈3.532，
100×100×185×15
∵3.532＞2.706，
∴有 90%的把握认为空气质量指数值与两种方案的选择有关．
选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一
题计分．
22．(10 分)[选修 4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1： 2 ，C：ρ2＝1 π ??＝ . ? θ ＋ ρ sin? 2
4 ? 2 3－4sin2θ ?
(1)求曲线 C1，C2 的直角坐标方程；
(2)曲线 C1 和 C2 的交点为 M，N，求以 MN 为直径的圆与 y 轴的交点坐标．
2 π ? 2 π π ? ? ?
＋sincos＋cossin[解] (1)由 ρ sin?θ ?＝ 得 ρ ? θ θ ?＝ ，
444 ? 2 ? 2 ? ?
??ρ sin θ ＝y
将?
?? ρ cos θ ＝x
代入上式得 x＋y＝1，
即 C1 的直角坐标方程为 x＋y＝1.
1 同理由 ρ＝ 可得 3x2－y2＝1.
23－4sinθ
2
∴C2 的直角坐标方程为 3x2－y2＝1.
(2)先求以 MN 为直径的圆，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，
??3x－y＝1
由?
?? x＋y＝1
2
2
得 3x2－(1－x)2＝1，即 x2＋x－1＝0.
?x? 1＋x2＝－1，∴?
??x1x2＝－1，
? 1 3?
则 MN 的中点坐标为?－ ， ?.
? 2 2?
∴|MN|＝ 1＋?－1?2|x1－x2|＝ 2× 1－4×?－1?＝ 10. 1?2?3?2?10?2?
∴以 MN 为直径的圆的方程为?x ＋? ＋?y －? ＝? ? ，
? 2? ? 2? ? 2 ?
- 4 -
1 ? 3?2 10 ? 3?2 9
令 x＝0，得 ＋?y－ ? ＝ ，即?y－ ? ＝ ，∴y＝0 或 y＝3.
4 ? 2? 4 ? 2? 4
∴以 MN 为直径的圆与 y 轴的交点的坐标为(0,0)，(0,3)．
23．(10 分)[选修 4－5：不等式选讲]
已知函数 f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)求不等式 f(x)≥3 的解集；
9
(2)若直线 y＝x＋a 与 y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为 ，求实数 a 的值．
2
[解]
??
x＋2，－ ＜x＜1，?2(1)由题意知 f(x)＝
??－3x，x≤－1，
3x，x≥1，
2
由 f(x)≥3 可知：
①当 x≥1 时，3x≥3，即 x≥1；
1 1
②当－ ＜x＜1 时，x＋2≥3，即 x≥1，与－ ＜x＜1 矛盾，舍去；
2 2
1
③当 x≤－ 时，－3x≥3，即 x≤－1.
2
综上可知不等式 f(x)≥3 的解集为{x|x≤－1 或 x≥1}．
? 1 3?
(2)画出函数 y＝f(x)的图象，如图所示，其中 A?－ ， ?，B(1,3)，
? 2 2?
由直线 AB 的斜率 kAB＝1，知直线 y＝x＋a 与直线 AB 平行，若要围成多边 形，则 a＞2，
a 3a? ? a 3a? ?
易得直线 y＝x＋a 与 y＝f(x)的图象交于两点 C? ， ?，D?－ ， ?，
?2 2 ? ? 4 4 ?
a a? 3 2 ?
a. 则|CD|＝ 2·? ＋ ?＝
?2 4? 4
|a－2| a－2 3 2
平行线 AB 与 CD 间的距离 d＝ ＝ ，|AB|＝ ，
2 2 2
3 2 3 2 3 3
＋ a ＋ a 2 4 a－2 2 4 9
∴梯形 ABCD 的面积 S＝ · ＝ ·(a－2)＝ (a＞2)，
2 2 2 2
即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4，
故所求实数 a 的值为 4.
- 5 -
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