(3)BC=5，BC上的高为4，所以平行四边形ABCD的面积为5×4=20.
备考指导：在平面直角坐标系内，关于x轴对称的两点,横坐标不变,纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的两点,横坐标互为相反数,纵坐标不变；关于原点对称的两点, 横纵坐标都互为相反数. 21. 【思路分析】（1）由AB=AT，知∠ATB=∠B=45°，故∠BAT=90°，AT是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，延长TO交⊙O于D，连接AD，则∠CAD=∠BAT=90°，∠TAC=∠OAD=∠D.通过△TAC∽△TDA，说明TA2=TC·TD，即4r2= TC(TC+2r),可以用r表示TC，tan∠TAC= tan∠D=证明：（1）∵AB=AT， ∴∠ATB=∠B=45°， ∴∠BAT=90°， ∴AT是⊙O的切线； （2）设⊙O半径为r，延长TO交⊙O于D，连接AD. ∵CD是直径， ∴∠CAD=∠BAT=90°， ACTC?. ADAT∴∠TAC=∠OAD=∠D. 又∠ATC=∠DTA， ∴△TAC∽△TDA， ∴
TATC?， TDAT∴TA2=TC·TD，即即4r2= TC(TC+2r), 解得TA=（5-1）r, ∴tan∠TAC= tan∠D=ACTC(5-1)r5-1?==. ADAT2r2 备考指导：(1) 圆的切线的判定方法有三种：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；这种方法不常用．②若圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线；这种证明方法通常是在直线和圆没有公共点时，通过“作垂直，证半径”的方法来证明直线是圆的切线． ③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．这种证明方法通常是在直线和圆有公共点，通过“连半径，证垂直”的方法来证明直线是圆的切线．
(2)涉及角的三角函数时，应该把这个角放在直角三角形中来考虑，如果这个角不在直角三角形中，可以在其他直角三角形中用它的等角来替换，最终把三角函数关系转化为直角三角形边的比值来解答. 22. 【思路分析】（1）根据△AEF∽△ABC，对应高的比等于相似比可得代入数值可确定
（2）结合
EFAKEFAD-DK??，即，BCADBCADEF的值； AKEF的值，用x表示EF,从而可以把矩形EFGH的面积为S写成x的二次函数，根据二次函数可确定AK第 9 页 共 14 页
矩形的最大面积.
(3)分两种可能：①两顶点M、N在底边BC上，根据（1）知N在腰AB上时，作AB上的高，转化为（1）形式求解. 解：（1）∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC，
PQ3?和AK=8-PQ求解；②两顶点M、AK2EFAKEFAK??，即 BCAD128EF3?； ∴
AK2 ∴
（2）由题意知EH=KD=x，AK=8-x.
EF3?， AK2EF3?， ∴8-x23∴EF=(8?x), 2332∴S=EF×EH=(8?x)x=-（x-4）?24, 22∵∴S的最大值是24； （3）①两顶点在底边BC上时，由（1）知 ∴AK=AD-DK=AD-PQ=8-PQ， ∴PQ3?，∵PQMN是正方形， AK2PQ3?， 8-PQ2∴PQ=4.8； ②正方形两顶点M、N在腰AB上时如图时,作CH⊥AB于H，交PQ于G，则CG=CH-HG=CH-PQ=9.6-PQ， 如图： ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=6 又AD=8， ∴AB=10，
∴AB×CH=BC×AD， ∴CH=9.6. 由（1）知
PQAB25PQ25???，即， CGCH249.6-PQ24第 10 页 共 14 页
∴PQ=
240， 49240. 49综上，正方形PQMN的边长为4.8或
备考指导：(1)相似三角形对应高的比等于对应边的比；（2）最值问题，最终转化为二次函数最值问题来解答.根据相似列比例式、勾股定理、三角函数都表示线段长度的方法；（3）对于“神同形异”、层层递进式的几何证明计算题，后面的结论一般都需要前面结论来证明，注意前后结论之间的“继承性”. 23.（本题10分）如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3 (1) 求证：EF＋PQ＝BC (2) 若S1＋S3＝S2，求PE的值 AEPE的值 AE(3) 若S3－S1＝S2，直接写出 【思路分析】（1）作QN∥AB，交BC于N，通过证明△AEF≌△QNC可以证明EF＋PQ＝BC；
（2）△AEF∽△APQ，根据面积比等于相似比的平方，用PE、AE、S1表示S2，再由△AEF∽△ABC，用PE、AE、S1表示S2，两种表示方法列等式可求解；（3）根据△AEF∽△ABC，用PE、AE、S1表示S3，根据S3－S1＝S2列等式可求解. 证明：（1）作QN∥AB，交BC于N，则∠NQP=∠A，∠QNC=∠B. ∵EF∥BC， ∴∠AEF=∠B， ∴∠AEF=∠QNC. ∵PQ∥BC，
∴四边形PQNB是平行四边形， ∴BN=PQ，QN=PB=AE， ∴△AEF≌△QNC，
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∴EE=NC，
∴BC=BN+NC=EF＋PQ； （2）∵EF∥PQ∥BC， ∴△AEF∽△APQ∽△ABC
S1AE2AE2∴ ??22S1?S2AP（AE?PE）2AE?PE?PE2S1①； 整理得S2=2AEAE2S1AE2AE2同理=， ??222S1?S2?S3AB（AE?PE?PB）（2AE?PE）∵S1＋S3＝S2， AE2S1S1∴， ??2S1?S2?S32S2（2AE?PE）2（2AE?PE）S1②， 整理得S2=2AE222AE?PE?PE2（2AE?PE）S1=S1 ①=②即22AE2AE整理得PE2=4AE2， PE=2AE， ∴PE=2； AE (3) ∵△AEF∽△ABC，
AE2S1AE2AE2∴=， ??222S1?S2?S3AB（AE?PE?PB）（2AE?PE）∵S3- S1＝S2，
AE2S1S1∴， ??2S1?S2?S32S3（2AE?PE）第 12 页 共 14 页
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