|a|－|b||a|＋|b|
3．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n的大小关系是( )
|a－b||a＋b|A．m＞n C．m＝n 答案 D
|a|－|b||a－b|
解析 m＝≤＝1.
|a－b||a－b||a|＋|b||a＋b|又n＝≥＝1，
|a＋b||a＋b|∴m≤n.
4．已知关于x的不等式|x－1|＋|x＋a|≤8的解集不是空集，则a的最小值是________． 答案 －9
解析 ∵|x－1|＋|x＋a|≥|x－1－(x＋a)|＝|a＋1|，且关于x的不等式|x－1|＋|x＋a|≤8的解集不是空集，∴|a＋1|≤8，解得－9≤a≤7，即a的最小值是－9.
B．m＜n D．m≤n
?ba?5．下列四个不等式：①|logx10＋lgx|≥2；②|a－b|＜|a|＋|b|；③?＋?≥2(ab≠0)；④|x?ab?
－1|＋|x－2|≥1.
其中恒成立的是________．(把你认为正确的序号都填上)． 答案 ①③④
解析 |logx10＋lg x|＝?
?1＋lg x?＝1＋|lg x|≥2，①正确；
?|lg x|
?lg x?
当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确； ∵ab≠0，与同号，
∴|＋|＝||＋||≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④正确．
1．求含绝对值的代数式的最值问题的综合性较强，直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用求|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，当ab≤0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的．
2．求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有 (1)借助绝对值的定义，即零点分段； (2)利用绝对值的几何意义； (3)利用绝对值不等式的性质定理．
baabbabaabab 5
一、选择题
1．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分又不必要条件 答案 B
解析 “乙?甲”， ∵|a－1|＜h，|b－1|＜h， ∴|a－1|＋|b－1|＜2h，
又|a－1|＋|b－1|≥|(a－1)－(b－1)|＝|a－b|， ∴|a－b|＜2h.
“甲?乙”．当a＝b＝5，h＝1时，甲?乙．
2．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( ) A．|a＋b|＋|a－b|＞2 B．|a＋b|＋|a－b|＜2 C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小
答案 B
解析 当(a＋b)与(a－b)同号或(a＋b)(a－b)＝0时， |a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2. 当(a＋b)与(a－b)异号时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.
3．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( ) A．1B．2C．3D．4 答案 C
解析 ∵|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1| ≥|(x－1)－x|＋|(y－1)－(y＋1)|＝3.
4．设变量x，y满足|x－1|＋|y－a|≤1，若2x＋y的最大值是5，则实数a的值是( A．2B．1C．0D．－1 答案 B
解析 由|x－1|＋|y－a|≤1，得|x－1|≤1，
) 6
∴0≤x≤2，且|x＋y－1－a|≤1， ∴a≤x＋y≤2＋a， ∴2x＋y≤4＋a， 又2x＋y的最大值为5， ∴4＋a＝5，∴a＝1.
11
5．已知不等式|x－m|＜1成立的一个充分不必要条件是＜x＜，则实数m的取值范围为
32( )
?41?A.?－，?
?32?
1??C.?－∞，－? 2??答案 B
?14?B.?－，?
?23??4?D.?，＋∞? ?3?
6．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( ) A．5B．4C．8D．7 答案 A
解析 由题意，得|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)| ≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5， 即|x－2y＋1|的最大值为5. 二、填空题
7．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________． 答案 [－2,4]
解析 |x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.
8．已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|.若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，则实数a的取值范围为________． 3??答案 ?－∞，?
2??
解析 由不等式性质可知，f(x)＝|x－3|－|x－a| ≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|，
所以若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立， 3
则|a－3|≥a，解得a≤，
2
3??所以实数a的取值范围是?－∞，?. 2??9．以下三个命题：
①若|a－b|≤1，则|a|≤|b|＋1；
7
②若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
?x?2
③|x|＜2，|y|＞3，则??＜.
?y?3
其中正确命题的序号为________． 答案 ①②③
解析 因为|a|－|b|≤|a－b|≤1，所以|a|≤|b|＋1，故①正确；因为|a＋b|－2|a|＝|a＋
b|－|2a|≤|(a＋b)－2a|＝|a－b|.故②正确；③显然正确．
?1?10．若不等式|2a－1|≤?x＋?对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是______．
?
x?
?13?答案 ?－，?
?22?
1?1?解析 因为?x＋?＝|x|＋≥2， |x|?x?所以由已知得|2a－1|≤2， 即－2≤2a－1≤2， 13
解得－≤a≤. 22
11．已知函数f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4，若函数f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，则m的取值范围是________． 答案 (－∞，－3]
解析 f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6， 因为x∈R，由绝对值不等式，得
f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6＝|3－x|＋|x＋1|－6
≥|(3－x)＋(x＋1)|－6＝4－6＝－2， 于是有m＋1≤－2，得m≤－3， 即m的取值范围是(－∞，－3]． 三、解答题
12．求证：(1)|a＋b|＋|a－b|≥2|a|； (2)|a＋b|－|a－b|≤2|b|.
证明 (1)∵|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|＝2|a|， ∴|a＋b|＋|a－b|≥2|a|.
(2)∵|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)－(a－b)|＝|2b|＝2|b|， ∴|a＋b|－|a－b|≤2|b|.
13．设a∈R，函数f(x)＝ax＋x－a(－1≤x≤1)． 5(1)若|a|≤1，证明：|f(x)|≤. 4
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