[思路点拨] (1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．
x2y2
(2)对于椭圆方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)可由m，n的大小确定椭圆焦点的位置，列
mn出三角不等式后求α的范围．
x2y2
[精解详析] 将椭圆方程x·sin α－y·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为＋＝11sin α－cos α
2
2
1(0≤α≤2π)．
(1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆， π???α∈?，π，112??则>－>0，即?sin αcos α
??tan α>－1，
3π3?所以π<α<π.即α的取值范围是??4，2π?. 4(2)若方程表示焦点在y轴上的椭圆， π????α∈11?2，π?， 则－>>0，即?cos αsin α
??tan α<－1，π3π?π3π
所以<α<.即α的取值范围是??2，4?. 24
[一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．
x2y23．如果方程2＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
aa＋6
2???a>a＋6，??a＋2??a－3?>0
解析：由于椭圆的焦点在x轴上，所以?即?解得a>3或－6 ???a＋6>0，?a>－6. －2. 答案：(3，＋∞)∪(－6，－2) x2y2 4．已知方程＋＝－1表示椭圆，求k的取值范围． k－53－k x2y2x2y2 解：方程＋＝－1可化为＋＝1，由椭圆的标准方程可得 k－53－k5－kk－3 5－k>0，?? ?k－3>0，??5－k≠k－3， 得3 所以满足条件的k的取值范围是{k|3 椭圆的定义及标准方程的应用 象 x2y2[例3] 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二 43限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． [思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF1＋PF2＝4，结合面积公余弦定理找到PF1和PF2的关系求解． [精解详析] 由已知a＝2，b＝3， 所以c＝a2－b2＝4－3＝1， F1F2＝2c＝2，在△PF1F2中， 由余弦定理，得 22 PF2F1F2cos 120°， 2＝PF1＋F1F2－2PF1·2即PF22＝PF1＋4＋2PF1.① 式和 由椭圆定义，得PF1＋PF2＝4， 即PF2＝4－PF1.② 6②代入①解得PF1＝. 5 1 ∴S△PF1F2＝PF1·F1F2·sin 120° 216333＝××2×＝， 25253 3即△PF1F2的面积是. 5 [一点通] 在椭圆中，由三条线段PF1，PF2，F1F2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF1＋PF2＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法． 5．已知两定点F1(－1,0)、F2(1,0)，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则动点P的轨迹方 程是________． 解析：∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴F1F2＝2. ∵F1F2是PF1与PF2的等差中项， ∴2F1F2＝PF1＋PF2， 即PF1＋PF2＝4， ∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上， ∵2a＝4，a＝2，c＝1，∴b2＝3. x2y2 ∴椭圆的方程是＋＝1. 43x2y2 答案：＋＝1 43 x2y2 6．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△ 94F1PF2的面积等于________． x2y2 解析：由＋＝1，得a＝3，b＝2， 94∴c2＝a2－b2＝5.∴c＝5.∴F1F2＝2 5. ???PF1＋PF2＝6，?PF1＝4，由?得? ?PF1∶PF2＝2∶1，???PF2＝2. 22∴PF1＋PF22＝F1F2. ∴△F1PF2为直角三角形． 1 ∴S△F1PF2＝PF1·PF2＝4. 2答案：4 x2y2 7．如图，已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点． 10036 (1)若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于15，那么点P到另一个焦点F2的距离是多少？ (2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长． 解：由椭圆的标准方程可知a2＝100，所以a＝10. (1)由椭圆的定义得PF1＋PF2＝2a＝20，又PF1＝15，所以PF2＝20－15＝5，即点P到焦点F2的距离为5. (2)△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋BF1)＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)． 由椭圆的定义可知AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，故AB＋AF2＋BF2＝4a＝40. 用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的． [对应课时跟踪训练(八)] x2y2 1．若椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为 259________． 解析：由椭圆定义知，a＝5，P到两个焦点的距离之和为2a＝10，因此，到另一个焦点的距离为5. 答案：5 2．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是________． x2y211 解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝，b2＝，所以c2＝ 111625251631193 0，±?. a2－b2＝－＝，故c＝.所以该椭圆的焦点坐标为?20??162540020 3 0，±? 答案：?20?? 3．已知方程(k2－1)x2＋3y2＝1是焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是________． x2y2 解析：方程(k－1)x＋3y＝1可化为＋＝1. 11k2－13 2 2 2 ? 由椭圆焦点在y轴上，得?11 <.3k－1? 2 k2－1>0， 解之得k>2或k<－2. 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) x2y2 4．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A| 259
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