全国百强校word衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷 分科综合卷 理科数学（二） - 图文

??m?DM?0??1???a?2?c?0,则? ???a?b?0,??m?DB?0取c?1??，则m??2?,2?,1??.

??∴|cosm,AE|?2， 2即

22???222?2?2?2?2?(1??)22?21???或?1. 23∵??0，∴??1. 320.解：(1)设Q(x,y)， 由AM??AD,DN??DC, 求得M(?2,2?),N(4??2,2), ∵kQA?kAN?∴kQA?kQB?∴

1?,kQB?kBM??, 2?21???1??????, 2??2?4yy1???， x?2x?24x2?y2?1(?2?x?0,0?y?1). 整理得4x21?y2?1. 可知点Q的轨迹为第二象限的椭圆，由对称性可知曲线P的轨迹方程为44(2)设E?x1,y1?,F(x2,y2)，当直线EF斜率存在且不为零时，设直线EF的斜率为k，把y?k(x?3)代

2222入椭圆方程，化简整理得1?4kx?83kx?12k?4?0.

??83k2??16(k?1)?0,x1?x2?，

1?4k2212k2?4x1x2?. 21?4k

∴EF?1?kx1?x2

2?(1?k)?x1?x2?2?241?k2?4x1x2?. 21?4k???∵EF?GH,

4(1?k2)1∴把k换成?，即得GH?.

4?k2k1141?k24(1?k2)?∴S?EF?GH?? 22221?4k4?k8(1?k2)2?， 22(1?4k)4?k????41?k241?k2EF?GH?? 221?4k4?k1?20(1?k2)2?1?4(1?k)???， 22?224?k?1?4k4?k?1?4k2????????∴S82??. EF?GH205当直线EF斜率不存在或为零时， S2?.

EF?GH5∴

S2为定值.

EF?GH5x2?(a?1)x?2a?1x?121.解：(1)易知f'(x)?e， 2?x?1?设g?x??x?(a?1)x?2a?1，

2若f(x)有极值点，

则g?x??0有两个不相等的实根， ∴??a?6a?5?0， ∴a??5或a??1，

2

此时，g?1??g?3??(?a?1)(a?5)

??(a?1)(a?5)?0，

3?内. ∴g?x?有两个零点，且有一个在区间?1，3?内. 即f?x?有一个极值点在区间?1，(2)由a??1,x?1，得a?x?x?1?0， 得

x?a?1， x?1x?ax?1?f?x??e?ex?1.

x?1x?1∴只需证e令??x??e?1??x?1?lnx??x?1?.

?2??x， ?1?e0?1?0. x?1则?'(x)?ex?1∴当x?1时，?(x)为增函数， ∴?(x)??(1)?0，即e∴只需证x?x?1?x.

?1?x?1?lnx?(x?1)， ?2?1lnx?x?1?， 21令h(x)?x?1?lnx

2即证x?1?则h'(x)?12x?1?2xx?1?0， 2x∴当x?1时，h(x)为增函数， ∴h(x)?h(1)?0，即x?1?∴原不等式成立.

22.解：(1)由??2sin?，得??2?sin?， 将??x?y,?sin??y，

22221lnx. 2

代入整理得x?y?2y?0. (2)把x?y?2y?0中的x换成即得曲线D的直角坐标方程设直线l的参数方程为?2222x， 2x?y2?2y?0. 4?x?2?tcos?,（t为参数，???0,??），

?y?tsin?代入曲线D的方程，整理得

?cos2??4sin2?t2??4cos??8sin??t?4?0，

???(4cos??8sin?)2?16(cos2??4sin2?)?0

?cos?sin??0.

设A,B两点所对应的参数分别为t1,t2， 则t1,t2为上述方程的两个根. 由t1t2?4?0， cos2??4sin2?得MA,MB同向共线. 故由MA?MB?t1t2?4?2 cos2?4sin2??sin2??12?tan???. 322， 2由cos?sin??0，得tan???即直线l的斜率为?2. 211??111??123.解：(1)由柯西不等式，得?2?2?2?a2?b2?c2???a??b??c??9，

bc??abc??a??2当且仅当a?b?c?3时，取等号. 3