&5.1 总体与样本 内容提要
1. 总体 在一个统计问题中,研究对象的全体称为总体,构成总体的每个成员称为个体。
若关心的是总体中每个个体的一个数量指标，则该总体称为一维总体，总体就是一个一维分布.
若关心的是总体中的每个个体的两个数量指标,则该总体称为二维总体,二维总体就是一个二维分布.余此类推.
2. 有限总体与无限总体 若总体中的个体数是有限的,此总体称为有限总体.
若总体中的个体数是无限的,此总体称为无限总体.
实际中总体中的个体数大多是有限的.当个体数充分大时,将有限总体看作无限总体是一种合理的抽象.
3. 样本 从总体中随即抽取的部分个体组成的集合称为样本,样本中的个体称为样品，样品个数称为样本容量或样本量.
样本常用n个指标值x1,x2,...,xn表示.它可看作n维随机变量,又可看作其观察值,这由上下文中加以区别.
4.分组样本 只知样本观测值所在区间.而不知具体的样本称为分组样本.
缺点:与完全样本相比损失部分信息.
优点:在样本量较大时,用分组样本既简明扼要,又能帮助人们更好地认识总体.
5.简单随机样本 若样本x1,x2,...,xn是n个相互独立的具有一分布(总体分布)的随机变量,则称该样本为简单随机样本,仍称样本.
n若总体的分布函数为F(x),则其样本的(联合)分布函数为?F(xi)
i?1n若总体的密度函数为p(x),则其样本的(联合)密度函数为?p(xi)
i?1n若总体的分布列为{p(xi)},则其样本的(联合)分布列为?p(xi)
i?1习题与解答5.1
1. 某地电视台想了解某电视栏目(如:每晚九点至九点半的体育节目)在该地区的收视率情况,于是委托一家市场咨询公司进行一次电视访查.
(1) 该项研究的总体是什么? (2) 该项研究的样本是什么?
解 (1)该项研究的总体是该地区全体电视观众; (2)该项研究的样本是该地区被电话访查的电视观众.
2.为了了解统计学专业本科毕业生的就业情况,我们调查了某地区30名2000年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪情况. (1)什么是总体? (2)什么是样本? (3)样本量是什么?
解 (1)总体是该地区2000年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪;
(2)样本是被调查的30名2000年毕业的统计学专业本科生实习期满
后的月薪; (3)样本量为30名.
3.设某厂大量生产某种产品,其不合格品率p未知,每m件产品包装为一盒,为了检查产品的质量,任意抽取n盒,查其中的不合格品数,试说明什么是总体,什么是样本,并指出样本的分布.
解 总体为该厂生产的每盒产品中的不合格品数;样本是任意抽取的n盒每盒产品的不合格品数;
样本中每盒产品中的不合格品数为x1,x2,...,xn因
xi?b(m,p),i?1,2,...,n所以样本(x1,x2,...,xn)的分布为
其中t?x1?...?xn
4. 假设一位运动员在完全相同的条件下重复进行n次打靶,试给出总体和样本的统计描述.
解 若以p记运动员打靶命中的概率,并以”1”记打靶命中,以”0”记打靶未命中,则总体为运动员打靶命中与否,该总体可由一个二点分布表示:
X p 0 1-p 1 P 样本为由n个0或1组成的集合,若记xi?b(1,p),i?1,2,...,n,样本
ni(x1,...,xn)的分布为?p(1?p)x1?xi?p(1?p)tn?t,其中t?x1?...?xn
i?15. 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布,为了解其平均寿命,从中抽出n件产品测其实际寿命,试说明什么是总体,什么是样本 ,
并指出样本的分布.
解 总体是该厂生产的电容器的寿命,或者可以说总体是指数分布,其分布为Exp???;
样本是该厂中抽出的n个电容器的寿命;
记第i个电容器的寿命为xi,则xi?Exp???,i?1,2,...,n,样本(x1...xn)的
n分布为??ei?1??xi??en??t,其中t?x1?...?xn.
6. 美国某高校根据毕业生返校情况记录,宣布该校毕业生的年平均工资为5万美元,你对此有何评论?
解 毕业生返校记录是全体毕业生中的一个特殊群体(子群体)的一个样本,它只能反映该子总体的特征,不能反映全体毕业生的状况,故此说法有骗人之嫌.
7.设有n个产品,其中有m个次品.进行放回抽样.定义xi如下: 1, 第i次取得次品
xi=
0, 第i次取得正品 求样本x1,x2,...,xn的联合分布. 解
总体的分布列为P(X?1)?MN,P(X?0)?1?MN
x1?xM??M??也可以写成P(X?x)????1??
N??N??,x?0,1.
因此样本x1,x2,...,xn的联合分布为
?M?P(x1,x2,...,xn)????N??i?1nxi1?xitMM????1??????N???N?M??1???N??n?t,xi?0,1,
其中t?x1?...?xn.
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