2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项

符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）下列曲线中有渐近线的是（ ）

（A）y?x?sinx （B）y?x2?sinx （C）y?x?sin1x （D）y?x2?sin1x （2）设函数f(x)具有2阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在区间[0,1]上（（A）当f?(x)?0时，f(x)?g(x) （B）当f?(x)?0时，f(x)?g(x) （C）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) （D）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) （3）设f(x,y)是连续函数，则?11?y0dy??1?y2f(x,y)dx?（ ）

（A）?1dxx?101?x20?0f(x,y)dy???1dx?0f(x,y)dy （B）

?11?x(x,y)dy??000dx?0f?1dx??1?x2f(x,y)dy

?1（C）

?2?sin??10d??cos?0f(rcos?,rsin?)dr???d??0f(rcos?,rsin?)dr

2?1（D）

?20d??cos??sin?0f(rcos?,rsin?)rdr???1?d??f(rcos?,rsin?)rdr

20（4）若

????(x?a1cosx?b1sinx)2dx?mina,b?R?????(x?acosx?bsinx)2dx?，则

a1cosx?b1sinx?（ ）

（A）2sinx （B）2cosx （C）2?sinx （D）2?cosx

）0a（5）行列式

0cab000b?（ ）

cd000d（A）(ad?bc)2 （B）?(ad?bc)2 （C）ad?bc （D）bc?ad

（6）设?1,?2,?3均为3维向量，则对任意常数k,l，向量组?1?k?3,?2?l?3线性无关是向量组?1,?2,?3线性无关的（ ）

（A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件

（7）设随机事件A与B相互独立，且P(B)?0.5,P(A?B)?0.3，则P(B?A)?（ ） （A）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4

（8）设连续型随机变量X1与X2相互独立且方差均存在，X1与X2的概率密度分别为f1(x)与f2(x)，随机变量Y1的概率密度为fY1(y)?222222221[f1(y)?f2(y)]，随机变量2Y2?1(X1?X2)，则 2（A）EY1?EY2,DY1?DY2 （B）EY1?EY2,DY1?DY2 （C）EY1?EY2,DY1?DY2 （B）EY1?EY2,DY1?DY2

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）曲面z?x(1?siny)?y(1?sinx)在点(1,0,1)处的切平面方程为 . （10）设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f?(x)?2(x?1)，x?[0,2]，则

22f(7)? . 3（11）微分方程xy??y(lnx?lny)?0满足条件y(1)?e的解为y? . 22（12）设L是柱面x?y?1与平面y?z?0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时

针方向，则曲线积分

??zdx?ydz? .

L（13）设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范

22围是 .

?2x,??x?2??（14）设总体X的概率密度为f(x,?)??3?2，其中?是未知参数，

?,其他?0X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本，若c?Xi2为?2的无偏估计，则

i?1nc? .

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

[t?求极限lim1x???x2(e?1)?t]dt1t1x2ln(1?)x

（16）（本题满分10分）

设函数y?f(x)是由方程y3?xy2?x2y?6?0确定，求f(x)的极值. （17）（本题满分10分）

x设函数f(u)具有2阶连续导数，z?f(ecosy)满足

?2z?2z?2?(4z?excosy)e2x，若f(0)?0,f?(0)?0，求f(u)的表达式. 2?x?y（18）（本题满分10分）

设?为曲面z?x?y(z?1)的上侧，计算曲面积分

22I???(x?1)3dydz?(y?1)3dzdx?(z?1)dxdy

?（19）（本题满分10分） 设数列{an},{bn}满足0?an?（I）证明：liman?0;

n???2,0?bn??2,cosan?an?cosbn，且级数?bn收敛.

n?1?（II）证明：级数

an收敛. ?n?1bn?（20）（本题满分11分）

?1?23?4???设A??01?11?,E为3阶单位矩阵.

?120?3???（I）求方程组Ax?0的一个基础解系； （II）求满足AB?E的所有矩阵B. （21）（本题满分11分）

?1??1证明：n阶矩阵????1?1?1??0?01????1?1??0?02?与?相似 ?????????????1?1??0?0n??1，在给定X?i的条件下，随机变量2（22）（本题满分11分）

设随机变量X的概率分布为P{X?1}?P{X?2}?Y服从均匀分布U(0,i)(i?1,2)，

（I）求Y的分布函数FY(y)； （II）求EY

（23）（本题满分11分）

x????设总体X的分布函数F(x;?)??1?e,x?0，其中?是未知参数且大于零，

?x?0?0,2X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本.

（1）求EX与EX；

2?； （2）求?的最大似然估计量?n??a???0？ （3）是否存在实数a，使得对任何??0，都有limP?nn????

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