数列与新背景、新定义的综合问题
该类问题出题背景广、新颖，解题的关键是读懂题意，有效地将信息转化，能较好地考查学生分析、解决问题的能力和知识的迁移能力、以客观题或解答题的形式出现，属于低中档题．
【例1】?在直角坐标平面内，已知点P1(1,2)，P2(2,22)，P3(3,23)，…，Pn(n,2n)，….如果n→→→
为正整数，则向量P1P2＋P3P4＋P5P6＋…＋P2n－1P2n的纵坐标为________．
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点]由PkPk＋1＝(k＋1－k,2k＋1－2k)＝(1,2k)可求解．
→→→
解析PkPk＋1＝(k＋1－k,2k＋1－2k)＝(1,2k)，于是P1P2＋P3P4＋P5P6＋…＋P2n－1P2n的纵坐标2?1－4n?2
为2＋23＋25＋…＋22n－1＝＝(4n－1)．
31－4
2
答案(4n－1)
3
解决数列与新背景、新定义的综合问题，
可通过对新数表、图象、新定义的分析、探究，将问题转化为等差(比)数列的问题．
【突破训练1】已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4000，O为坐标原点，点→→
P(1，an)，点Q(2011，a2011)，则OP·OQ＝( )．
A．2011B．－2011C．0D．1
答案：A[设Sn＝An2＋Bn，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)A＋B，由S21＝S4000，知4021A→→＋B＝0，所以a2011＝0，OP·OQ＝2011＋an×a2011＝2011，故选A.]
数列与函数的综合问题
由于数列与函数的紧密联系，近几年高考在数列与函数的综合处命题有加强的趋势，常考查以函数为背景的数列问题，该类问题的知识综合性比较强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力．需掌握与函数、函数性质等相关方面的知识，难度较大．
【例2】已知函数f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7.
(1)设函数y＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列； (2)设函数y＝f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn. [审题视点]
[听课记录]
[审题视点] (1)配方可求顶点的纵坐标，再用定义可证；(2)由bn＝|an|知分类求和． (1)证明∵f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7＝[x－(n＋1)]2＋3n－8，∴an＝3n－8，∴an＋1－an
＝3(n＋1)－8－(3n－8)＝3，∴数列{an}为等差数列．
(2)解由题意知，bn＝|an|＝|3n－8|，
∴当1≤n≤2时，bn＝8－3n，
n?b1＋bn?n[5＋?8－3n?]13n－3n2
Sn＝b1＋…＋bn＝＝＝.
222当n≥3时，bn＝3n－8，
Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋2＋[1＋4＋…＋(3n－8)] ?n－2?[1＋?3n－8?]
＝7＋ 23n2－13n＋28＝，
2
?∴S＝?3n－13n＋28
，n≥3.?2
n
2
13n－3n2
，1≤n≤2.2
,
(1)正确审题，深抠函数的性质与数列的定义；
解决此类问题时要注意把握以下两点：
(2)明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征．
【突破训练2】已知函数f(x)＝(x－1)2，数列{an}是各项均不为0的等差数列，点(an＋1，3－
S2n－1)在函数f(x)的图象上；数列{bn}满足bn＝n1.
4
(1)求an；
an
(2)若数列{cn}满足cn＝n－1，求数列{cn}的前n项和．
4·bn
2＝S解 (1)因为点(an＋1，S2n－1)在函数f(x)的图象上，所以an2n－1. 22???a1＝S1，?a1＝a1， ①
令n＝1，n＝2，得?2即? 2＝3a＋3d， ②??a＝S，?a＋d??2?131
由①知a1＝0或a1＝1，∵a1≠0，∴a1＝1.代入②解得d＝－1或d＝2，又d＝－1时，a2
＝0不合题意，∴d＝－1(舍去)，∴d＝2.即an＝2n－1.
2n－12n－1an
(2)由(1)得cn＝n－1＝＝n－1. 4·bnn－13n－13
4·4令Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，
2n－32n－1135
则Tn＝0＋1＋2＋…＋n－2＋n－1，①
333332n－32n－11135
Tn＝1＋2＋3＋…＋n－1＋n，② 333333
2n－1212222
①－②得，Tn＝0＋1＋2＋3＋…＋n－1－n 333333311－n－1
32n－12n－12?n＋1?21
＝1＋·－n＝2－n－1－n＝2－. 31333n31－3n＋1
所以Tn＝3－n－1.
3数列与不等式的综合问题
数列与不等式的综合问题是高考的热点，常考查：①以数列为载体，比较两项的大小或证明不等式；②以数列为载体，利用不等式恒成立求参数．在解答时需要我们抓住本质，进行合理变形、求和，再结合与不等式有关的知识求解．试题难度较大．
nban－1
【例3】设b＞0，数列{an}满足a1＝b，an＝(n≥2)．
an－1＋n－1(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：对于一切正整数n,2an≤bn1＋1. [审题视点]
[听课记录]
[审题视点] (1)对所给递推关系式变形(取倒数)后构造等比数列求解． (2)利用基本不等式放缩． (1)解由a1＝b＞0，
nban－1n11n－1
知an＝＞0，＝＋. anbban－1an－1＋n－1n1
令An＝，A1＝. anb
＋
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