2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1. 复数z=i·（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 ( )
A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法 3. 在锐角?ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b。若2asinB?3b，则角A等于( ) A.
???? B. C. D. 12643?y?2x,?4. 若变量x，y满足约束条件?x?y?1, 则x?2y的最大值是( )
?y??1,?A. ?555 B. ０ C. D. 2325. 函数f?x??2lnx的图象与函数g?x??x2?4x?5的图象的交点个数为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 已知a，b是单位同量，a·b=0。若向量c满足c?a?b?1，则的取值范围是( )
A. [2?1,2?1] B. [2?1,2?2] C. [1,
2?1] D. [1,
2?2]
7. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 ( ) ．．．A. 1 B.
2 C.
2?1 D. 22?1 28. 在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1）。若光线QR经过?ABC的重心，则AP等于( )
A. 2 B. 1 C.
84 D. 33二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分。 （一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
?x?t,?x?3cos?,9. 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：? (t为参数)过椭圆C：?
y?t?ay?2sin???(?为参数) 的右顶点，则常数a的值为 .
10. 已知a,b,c?R，a+2b+3c=6，则a2?4b2?9c2的最小值为 . 11. 如图2，在半径为7的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，
PD=1，则圆心O到弦CD的距离为 . (二)必做题（12～16题）
12. 若?x2dx?9，则常数T的值为 .
0T13. 执行如图3所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出
的a的值为 .
x2y214. 设F1，F2是双曲线C：2?2?1（a>0，b>0）的两个焦
ab点，P是C上一点。若PF1?PF2?6a，且?PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为 . 15. 设Sn为数列?an?的前n项和，Sn???1?an?n1，n?N?，则 n2（1）a1= ；
（2）S1?S2???S100= 。
16. 设函数f?x??ax?bx?cx，其中c>a>0，c>b>0。
（1）记集合M={（a,b,c）|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则
（a,b,c）?M所对应的f（x）的零点的取值集合为 ；
（2）若a,b,c是?ABC的三条边长，则下列结论正确的是 。（写出所有正
确结论的序号）
①?x????,1?，f（x）>0；
②?x?R，使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若?ABC为钝角三角形，则?x?(1,2)，使f（x）=0。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分）
??x已知函数f（x）=sin（x?）+cos（x?），g（x）=2sin2。
632（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=
33，求g（α）的值； 5（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合。
18.（本小题满分12分）
某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。
（Ⅰ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（Ⅱ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。
19.（本小题满分12分）
如图5，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AD//BC，∠BAD=90°，AC?BD，BC=1，AD=AA1=3。
（Ⅰ）证明：AC?B1D；
（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值。
20.（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（-10，0），C（14，0）处，现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。
（Ⅰ）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）； （Ⅱ）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保
护区。请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小。
21.（本小题满分13分）
过抛物线E：x2?2py（p>0）的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1?k2?2。l1与E相交于点A，B；l2与E相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l。 （Ⅰ）若k1>0，k2>0，证明：FM·FN?2p2； （Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为
22.（本小题满分13分） 已知a>0，函数f（x）=
x?a。 x?2a75，求抛物线E的方程。 5（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
（Ⅱ）是否存在a，使函数y= f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两
点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
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