【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题． 20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程． 【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程． 【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PRF，即可证明AR∥FQ； （Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程． 【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=180°， ∴∠PFQ=90°， ∵R是PQ的中点， ∴RF=RP=RQ， ∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR， ∴∠FQB=∠PAR， ∴∠PRA=∠PRF， ∴AR∥FQ．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
F（，0），准线为 x=﹣， S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|， 设直线AB与x轴交点为N， ∴S△ABF=|FN||y1﹣y2|，
∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍， ∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）． 设AB中点为M（x，y），由
得
=2（x1﹣x2），
又∴
=，
=，即y2=x﹣1．
∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题． 21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记f（x）的最大值为A． （Ⅰ）求f′（x）； （Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．
【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；
（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的数学，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解； （Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A． 【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx． （II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．
当0＜a＜1时，f（x）等价为f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1， 令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，
则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，
且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，
令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．因此A=3a﹣2
g（﹣1）=a，g（1）=3a+2，a＜3a+2，∴t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）
的最大值为3a+2．
综上可得：t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为3a+2． ∴A=3a+2．
①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|， ∴A=2﹣3a，
②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（又|g（∴A=|g（
）﹣g（﹣1）|=）|=
，
＞0，
），
综上，A=．
（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|， 当0＜a≤时，|f′（x）|≤1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A， 当＜a＜1时，A=
=+
+≥1，
∴|f′（x）|≤1+a≤2A，
当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A， 综上：|f′（x）|≤2A．
【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系，以及换元法，转化法转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，⊙O中
的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；
（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证． 【解答】（1）解：连接PA，PB，BC， 设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3， ∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，
由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，
在△EBC中，∠1=∠2+∠3， 又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5， 即有∠2=∠4，则∠D=∠1，
则四点E，C，D，F共圆， 可得∠EFD+∠PCD=180°， 由∠PFB=∠EFD=2∠PCD， 即有3∠PCD=180°， 可得∠PCD=60°；
（2）证明：由C，D，E，F共圆，
由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G 可得G为圆心，即有GC=GD，
则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦， 则OG⊥CD．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
（α为参数），以坐标原点
）=2
为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+
．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；
（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为移项后两边平方可得即有椭圆C1：
+y2=cos2α+sin2α=1，
（α为参数），
+y2=1；
）=2，
，
曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+即有ρ（
sinθ+
cosθ）=2
相关推荐：
loading