2011年全国高中数学联赛安徽省预赛
安徽省预赛的命题工作是由安徽省数学会负责，预赛试题所涉及的知识范围，完全参考了《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，但在方法的要求上有所提高，主要考查学生对所学的基本知识和基本技能的掌握情况，以及灵活运用知识的综合能力.
试题包括8道填空题，4道解答题，满分150分，考试时间为2小时.
印制试卷严格按照联赛的要求，秘密印卷，采用大包30份，小包10份的包装，通过保密渠道，在9月9日左右寄达各市教研室. 各市教研员在收到试题后派专人保管，并在考前5分钟拆封.
安徽省预赛于2011年9月10日举行，在这个值得庆贺日子“教师节”，我省17各地市的高中数学老师都在认真地监考. 共有31078名学生在各地、县中学参加考试. 初赛结束后，各地教研员认真组织改卷、初评和复评工作，坚持公开、公正、公平的原则，最终复评后确定了1130人有参加10月16日到中国科学技术大学参加全国高中数学复赛的资格.
试 题
一、填空题（每小题8分，共64分）
1．以X表示集合X的元素个数. 若有限集合A,B,C满足A?B?20，B?C?30，
C?A?40，则A?B?C的最大可能值为 .
2．设a是正实数. 若f(x)?x2?6ax?10a2?x2?2ax?5a2，x?R的最小值为10，
则a? .
3．已知实系数多项式f(x)?x4?ax3?bx2?cx?d满
足f(1)?2，f(2)?4，f(3)?6，则f(0)?f(4)的所有可能值集合为 .
4．设展开式(5x?1)n?a0?a1x???anxn，n?2011.
若a2011?max(a0,a1,?,an)，则n? . 5．在如图所示的长方体ABCD?EFGH中，设P是矩
形EFGH的中心，线段AP交平面BDE于点Q. 若
第5题
AB?3，AD?2，AE?1，则PQ? . 6．平面上一个半径r的动圆沿边长a的正三角形的外
侧滚动，其扫过区域的面积为 .
第6题
7．设直角坐标平面上的点(x,y)与复数x?yi一一对应. 若点A,B分别对应复数z,z?1（z?R），则直线AB与x轴的交点对应复数 （用z表示）. 8．设n是大于4的偶数. 随机选取正n边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率
为 .
二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分） 9．已知数列{an}满足a1?a2?1，an?1?a1???an?2（n?3），求an的通项公式.
41111?????. a1a2an210．已知正整数a1,a2,?,an都是合数，并且两两互素，求证：
11．设f(x)?ax3?bx?c（a,b,c是实数），当0?x?1时，0?f(x)?1. 求b的最大可
能值.
12．设点A(?1,0)，B(1,0)，C(2,0)，D在双曲线x2?y2?1的左支上，D?A，直线CD交
双曲线x2?y2?1的右支于点E. 求证：直线AD与BE的交点P在直线x?
1
上. 2
本文档选自华东师范大学出版社的《高中数学联赛备考手册（2012）（预赛试题集锦）》，该书收录了2011年各省市预赛试题和优秀解答。预赛命题人员大多为各省市数学会成员，试题在遵循现行教学大纲，体现新课标精神的同时，在方法的要求上有所提高。命题人员大多同时兼任各省市高考命题工
作，试题对高考有一定的指导作用，本书架起了联赛与高考的桥梁，是一本不可或缺的备考手册。
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解答
1. 10. 2. 2. 3. {32}. 4. 2413. 5.
17. 46. 6ar?4πr2. 7. 8.
z?z. 1?zz3.
(n?1)(n?3)9．an?1?a1??an?2a?an?1?n?2
44?1 2n?1?an?an?11?a???an?1?n?2??22?2??2n?1an?2n?2an?1?1???n?an?n2n?1.
10．设ak的最小素因子pk，因为ak不是素数，所以ak?pk2. 于是
n11???2k?1akk?1pkn1n1???4k?2(2k?1)2?11??4k?2(2k?1)2?1111???24n2n
?f(0)?c??11．由?f(1)?a?b?c?ab1f()???c3?333?可知
2b?33f(13)?f(1)?(33?1)f(0)?33 f(x)?323(x?x3)满足题设，b的最大可能值为323.
12．设D(x1,y1)，E(x2,y2)，P(x,y)，直线CD的方程y?k(x?2)，则
x2?k2(x?2)2?1，所以
?4k21?4k25x1?x2?，xx????1?(x1?x2) ， ① 12221?k1?k4y1y(x?1)?y?2(x?1)， x1?1x2?1所以
y2yx2?2x1?2?1?x?1x1?1x2?1x1?12x1x2?3x1?x2x?2??。
y2y1x2?2x1?23x?x?421??x2?1x1?1x2?1x1?1
把①代入上式，得x?
1. 2
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