初中数学竞赛专题：方程组

初中数学竞赛专题：方程组 §4．1方程组的解法

4．1．1★已知关x、y的方程组

??ax?2y?1?a,① ?2x?2a?1y?3.②????分别求出当a为何值时,方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解,

解析与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结

为一元一次方程ax?b的形式进行讨论,但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零． 由①式得

2y??1?a??ax,③

将③代入②得

?a????a?1?x??a?2??a?2?．④

（a?2）当?a?1??0,即a?2且a??1时,

方程④有唯一解x?y?1, 2?a?1?a?2,将此x值代入③有 a?1因而原方程组有唯一一组解．

当?a?2??a?1??0,且?a?2??a?2??0时,即a??1时,方程④无解,因此原方程组无解． 当?a?2??a?1??0且?a?2??a?1??0时,即a?2时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有 无穷多组解．

评注对于二元一次方程组?有一个不为零）． （1）当

a1b1?时,方程组有唯一的解 a2b2?a1x?b1y?c1,（a1、a2、b1、b2为已知数,且a1与b1,a2与b2中都至少

ax?by?c?222b2c1?b1c2?x??a1b2?a2b1? ?ac?ac21?y?12?a1b2?a2b1?

（2）当（3）当

a1b1c1??时,原方程组有无穷多组解． a2b2c2a1b1c1??时,原方程组无解． a2b2c2??y?kx?m至少有一组解？

y?2k?1x?4????4．1．2★对k、m的哪些值,方程组?解析由原方程可得kx?m??2k?1?x?4．即

?k?1?x?m?4．

（1）当k?1时,方程有唯一解x?m?4,从而原方程组有唯一解． k?1（2）当k?1,m?4时,方程有无穷多个解,从而原方程组也有无穷多组解． 综上所述,当k?1且m为任意数,或k?1且m?4时,方程组至少有一组解． 4．1．3★已知关于x、y的二元一次方程

?a?1?x??a?2?y?5?2a?0．

当a每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解． 解析1根据题意,可分别令a?1,a??2代入原方程得到一个方程组：

?3y?3?0, ??3x?9?0.?解之得

?x?3, ?y??1.?将x?3,y??1代入原方程得

?a?1??3??a?2????1??5?2a?0．

所以对任何a值

?x?3, ?y??1?都是原方程的解．

评注取a?1为的是使方程中?a?1?x?0,方程无x项,可直接求出y值；取a??2的道理类似． 解析2可将原方程变形为

a(x?y?2)??x?2y?5??0．

由于公共解与a无关,故有

?x?y?2?0, ?x?2y?5?0.?解之得公共解为??x?3,

?y??1.x2?6y2?10z24．1．4★★已知xyz?0,且x?2y?z?0,5x?4y?4z?0,求2的值． 23x?4yz?5z解析已知代数式中含有x、y、z三个字母,而等式只有2个,在一般情况下是不可能求出x、y、

z的具体值来的．因此,可以把已知条件中的z视为常数,得到关于x、y的方程组,从而找出x、y与z的关系,由此可求出其值．

把已知等式视作关于x、y的方程,z视作常数,得关于x、y的方程组

?x?2y?z?0, ?5x?4y?4z?0.??x?2z,解得??3

y??z.??2因为xyz?0,所以z?0,于是

?3?2z?6?z??10z2???222x?6y?10z?2? ?2223x?4yz?5z?32?23??2z??4??z??5z?2?23272z?10z2152??． 22212z?6z?5z464z2?4．1．5★若x、y的值满足方程组

?323x?457y?1103,① ?177x?543y?897,②?求x4?4x2y2?5y4的值．

解析由①+②得500x?1000y?2000,即

x?2y?4．③

由③得：x?4?2y．④ 把④代入①得：

323?4?2y??457y?1103．

解得y?1,把y?1代人④得：x?2,所以方程组解为