恒成立问题——数形结合法
一、基础知识：
1、函数的不等关系与图像特征：
（1）若?x?D，均有f?x??g?x??f?x?的图像始终在g?x?的下方 （2）若?x?D，均有f?x??g?x??f?x?的图像始终在g?x?的上方
2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数 3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等
4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）
5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备
6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点： （1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图 （2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义 （3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征 二、典型例题：
例1：已知不等式?x?1??logax在x??1,2?上恒成立，则实数a的取值范围是_________ 思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出y??x?1?的图像，观察图像可得：若要使不等式成立，则y?logax的图像应在
22y??x?1?的上方，所以应为单增的对数函数，即a?1，
另一方面，观察图像可得：若要保证在x??1,2?时不等式成立，只需保证在x?2时，?x?1??logax即可，代入
22x?2可得：1?loga2?a?2，综上可得：1?a?2
答案：1?a?2
小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围。
（2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的x?2） （3）处理好边界值是否能够取到的问题
例2：若不等式logax?sin2x(a?0,a?1)对于任意的x??0,值范围是___________
思路：本题选择数形结合，可先作出y?sin2x在x??0,????4??都成立，则实数a的取
????的图像，a扮演的角色为对数?4?的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得0?a?1，观察图像进一步可得只需x??4时，
logax?sin2x，即loga?4?sin2??4?1?a??4，所以
???a??,1?
?4?答案：a?????,1? 4??例3：若不等式x?x?2c?1对任意x?R恒成立，求c的取值范围
思路：恒成立不等式变形为x?2c?1?x，即y?x?2c的图像在y?1?x图像的上方即可，先作出y?1?x的图像，对于y?x?2c，可看作
y?x经过平移得到，而平移的距离与c的取值有关。通过观
察图像，可得只需2c?1，解得：c?答案： c?1 21 2小炼有话说：在本题中参数c的作用是决定图像平移变换的程度，要抓住参数在图像中的作用，从而在数形结合中找到关于参数的范围要求
例4：若|p|?2,不等式x?px?1?2p?x恒成立,则x的取值范围是______
思路：本题中已知p的范围求x的范围，故构造函数时可看作关于p的函数，恒成立不等式变形为 ?x?2?p?x?x?1?0,设f?x???x?2?p?x?x?1??2?p?2?,即关
222于p的一次函数，由图像可得：无论直线方向如何，若要f?x??0，只需在端点处函数值
均大于0即可，即??1?13?f?2??0,解得：x??或
2??f??2??0x??1?13 21?13?1?13或x? 22答案：x??小炼有话说：（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数。
（2）线段的图像特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。 （3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧
例5：已知函数f?x??x?mx?1，若对任意的x??m,m?1?，都有f?x??0成立，则
2实数m的取值范围是_____________
思路：恒成立的不等式为x?mx?1?0，如果进行参变分离，虽可解决问题，但是因为x所在区间含参，m的取值将决定分离时不等号方向是否改变，需要进行分类讨论，较为麻烦。换一个角度观察到f?x?是开口向上的抛物线，若要f?x??0，只需端点处函数值小于零即可（
无
论
对
称
轴
是
否
在
区
间
内
），
所
以
只
需
m m+1 2??f??f??22??m???m??2m?1?0?2??22,0? ，解得m?????22?m?1??2m?3m?0??3?m?0????22答案：????2?,0? 2?小炼有话说：本题也可以用最值法求解：若f?x??0，则f?x?max?0，而f?x?是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以???f?m??0，再解出m的范围即可
??f?m?1??0例6：已知函数f?x??x1?ax，设关于x的不等式f?x?a??f?x?的解集为A，若
???11??,??A，则实数a的取值范围是_____________ ??22?思路：首先理解条件??,??A，即?x???,?时，不等式f?x?a??f?x?恒成立，
2222可判断出函数f?x?为奇函数，故先作出x?0的图像，即y?ax?x，参数a的符号决定开口方向与对称轴。故分类讨论：当a?0时，y?ax?x单调递增，且观察图像可得不f?x?a?为f?x?向左平移a个单位，
存在满足条件的a，当a?0时，y?ax?x开口向下，
且f?x?a?为f?x?向右平移a个单位，观察可得只需x?222?11????11???11,x??，22?11?f?x?a??f?x?，即可保证x???,?，f?x?a?的图像始终在f?x?的下方。
?22???f????f??1??a????f?x?2?1?5??a?0；当a?0时，代入验证不符题意。 解得：21??a????f?x?2??1?5?a?0 2答案：
小炼有话说：（1）注意本题中“恒成立问题”的隐含标志：子集关系 （2）注意函数奇偶性对作图的影响
（3）本题中参数a扮演两个角色：① f?x?二次项系数——决定抛物线开口，② 决定二次函数对称轴的位置； ③ 图像变换中决定平移的方向与幅度，所以要进行符号的分类讨论。 例7：已知函数f?x???a???1?2不等式f?x??0恒成立，?x?2ax?lnx.当x??1,+??时，
2?则实数a的取值范围是________
思路：所证不等式可转化为?a???11?2x?2ax??lnx，作出的图像，当时a?y??lnx?2?21??a的取值决定y??a??x2?2ax的开口，观察可得
2??a?1?1??0，且x?1时，?a??x2?2ax??lnx即
2?2?1?a??0?11?2可，?????a?
22?a?1?2a?0??2当a?1时，不等式为lnx?x?0，可证明其成立 2?11?,? 22??答案：a???小炼有话说：原不等式无法直接作出图像，则考虑先变形再数形结合，其原则为两个函数均可进行作图。
2?例8：设a?R，若x?0时均有?a?1x?1x???????ax?1???0，则a?_________
思路：本题如果考虑常规思路，让两个因式同号去解a的值（或范围），则不可避免较复杂的分类讨论，所以可以考虑利用图像辅助解决。将两个因式设为函数：f?x???a?1?x?1，
g?x??x2?ax?1，则在图像上要求这两个函数同时在x轴的
上方与下方。这两个函数在图像上有公共定点?0,?1?，且g?x?为开口向上的抛物线。所以
f?x?的斜率必大于0，即a?1，通过观察图像可得：f?x?与g?x?与x轴的交点必须重
11?1??1?合。f?x??0?x?，所以g??0??a??1?0，解得：a?0???a?1a?1a?1a?1????（舍）或a?答案：a?23 23 2小炼有话说：（1）在处理不等式的问题时要有两手准备，一是传统的代数方法，二是通过数形结合的方式。要根据题目选择出合适的方法。对于数形结合而言，要求已知条件与所求问
题都具备一定的图像特征。所以在本题中一旦确定了使用图像，则把条件都翻译为图像上的特点。
（2）本题中隐藏的公共定点是本题的一个突破口，这要求我们对于含参的函数（尤其是直线），要看是否具备过定点的特征。
2??x?4x?3,x?0例9：(2015山东烟台高三一模）已知f?x???，不等式
2???x?2x?3,x?0f?x?a??f?2a?x?在?a,a?1?上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. ???,?2? B. ???,0? C. ?0,2? D. ??2,0?
思路：本题有两个难点，一是所给区间含参，一个是?x?a?与?2a?x?很难确定其范围，从而f?x?a?与f?2a?x?无法化成解析式。但由于所给不等式可视为两个函数值的大小，且分段函数图像易于作出，所以考虑作出f?x?图像，看是否存在解题的突破口。通过图像可以看出虽然f?x?是分段函数，但是图像连续且单调递减。所以f?x?是R上的减函数。那么无论?x?a?与
?2a?x?位于哪个区间，由f?x?a??f?2a?x?及单调性均可得到：只需
x?a?2a?x?a?2x，所以a??2x?max?2?a?1?，解得a??2
答案：A 例
10：已知函数f?x?是定义在R上的奇函数，当x?0时，
f?x??1x?a2?x?2a2?3a2 ，若?x?R,f?x?1??f?x?，则实数a的取值范2??围是_____________
思路：f?x?是奇函数且在x?0时是分段函数（以a,2a为界），且形式比较复杂，恒成立的不等式f?x?1??f?x?较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法。从数形结合的角度来看，
22一方面f?x?的图像比较容易作出，另一方面f?x?1?可看作是f?x?的图像向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图像。所以考虑利用图像寻找a满足的条件。先将f?x?写为
?x?3a2,x?2a2?222分段函数形式：f?x????a,a?x?2a，作出正半轴图像后再根据奇函数特点，关于
??x,0?x?a2?原点对称作出x负半轴图像。f?x?1??f?x?恒成立，意味着f?x?的图像向右平移一个单位后，其图像恒在f?x?的下方。通过观察可得在平移一个单位至少要平移6a个长度，
2所以可得：6a?1??266?a? 66答案：????66?,? 66?
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