2020届中考数学二轮重难题型 类型三 利润最值问题
例1、不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x2－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是m?或“无解”) 【答案】：有解
【解析】：y?2(x?)?m?9，此时关于一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情况是_____(填“有解”23229 299?0∴m? 2212例2、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y??x?3.5的
5∵2(x?)?0，要使y?0，只有m?232一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是______． 【答案】：4.5米
【解析】：当y?3.05时，y??212x?3.5?3.05 5 x?5?0.45，x?1.5或x??1.5（不合题意，舍去）
例3、在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，?在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V0t-
12
gt（其中g是常2数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面___m． 【答案】：7米
2【解析】：s??5t?10t??5(t?1)?5
2 当t?1时，smax?5，所以，最高点距离地面5?2?7(米)．
例4、影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=确定；雨天行驶时，这一公式为S=
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V 10012
V．如果车行驶的速度是60km/h，?那么在雨天行50
驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_______米． 【答案】：36
例5、将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价__元，最大利润为__________元． 【答案】：5元,625元
【解析】：设每件价格降价x元，利润为y元， 则：y?(100?70?x)(20?x)
2 ??x?10x?600??((x?5)?625
2当x?5，ymax?625（元）
答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．
例6、如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．
y B A O x
【答案】：24.5米
【解析】：设y?a(x?8)?9，将点A(0,1)代入，得a??
21811y??(x?8)2?9??x2?2x?1
8812令y?0，得y??(x?8)?9?0
8(x?8)2?8?9
x?8?62，C(8?62,0)，∴OC?8?8?62?24.5(米)
例7、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 【答案】：65元
【解析】：设涨价（或降价）为每件x元，利润为y元，
y1为涨价时的利润，y2为降价时的利润
则：y1?(60?40?x)(300?10x) ??10(x?10x?600) ??10(x?5)?6250
当x?5，即：定价为65元时，ymax?6250（元）
22y2?(60?40?x)(300?20x)
??20(x?20)(x?15) ??20(x?2.5)?6125
当x?2.5，即：定价为57.5元时，ymax?6125（元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．
例8、某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 【答案】：5元
【解析】：设每件价格提高x元，利润为y元， 则：y?(30?x?20)(400?20x)
2
??20(x?10)(x?20) ??20(x?5)?4500 当x?5，ymax?4500（元）
答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．
例9、某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 【答案】：55人
【解析】：设旅行团有x人(x?30)，营业额为y元， 则：y?x[800?10(x?30)] ??10x(x?110) ??10(x?55)?30250 当x?55，ymax?30250（元）
答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额． 例10、 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价
22x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：
若日销售量y是销售价x的一次函数．
⑴求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；
x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
【答案】：（1）y??x?40．（2）25元，225元 【解析】：⑴设一次函数表达式为y?kx?b．
?k??1?15k?b?25,则? 解得?，?
2k?b?20b?40??即一次函数表达式为y??x?40．
⑵ 设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w?(x?10)y?(x?10)(?x?40) ??x?50x?400 ??(x?25)?225 当x?25，ymax?225（元）
答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．
例11、超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30?元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y(千克)?与销售单价x(元) (x?30）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y与x的函数关系式；
⑵设超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，?现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(?直接写出答案)．
【答案】：（1）y??20x?1000(30?x?50)．（2）4500（3）31≤x??≤34或36≤x≤39．
【解析】：⑴设y=kx+b由图象可知，
22?30k?b?400,?40k?b?200??k??20， 解之得:?b?1000?即一次函数表达式为y??20x?1000(30?x?50)．
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