2020版高考数学大一轮复习-第1节平面向量的概念及线性运算讲义（理）（含解析）新人教A版

第1节 平面向量的概念及线性运算

考试要求 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示和基本要素；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知 识 梳 理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律： a＋b＝b＋a. 加法 求两个向量和的运算 (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减去一个向量相当于减法 加上这个向量的相反向量 a－b＝a＋(－b) (1)|λa|＝|λ||a|； λ(μa)＝λμa； 求实数λ与向量a数乘 的积的运算 与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向

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(2)当λ＞0时，λa的方向(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 相反；当λ＝0时，λa＝0 3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. [微点提醒]

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向→→→→

量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.

→1→→

2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB).

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基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )

→→

(3)向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.( ) 解析 (2)若b＝0，则a与c不一定平行.

(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√

2.(必修4P78A6改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是→→

单位向量，则a＝b；③向量AB与BA相等.则所有正确命题的序号是( ) A.①

B.③

C.①③

D.①②

解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方→→

向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB与BA互为相反向量，故③错误. 答案 A

3.(必修4P92A12改编)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平→→→→

面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于( )

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→A.OM →C.3OM

→B.2OM →D.4OM

→→→→→→→→→→→解析 OA＋OB＋OC＋OD＝(OA＋OC)＋(OB＋OD)＝2OM＋2OM＝4OM. 答案 D

→→→→→

4.(2019·东莞调研)如图所示，已知AC＝3BC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则下列等式中成立的是( )

31A.c＝b－a

22B.c＝2b－a C.c＝2a－b 31D.c＝a－b

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→→→→→→→→3→→3→→3→1→解析 因为AC＝3BC，OA＝a，OB＝b，所以OC＝OA＋AC＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝OB－OA222231

＝b－a. 22答案 A

→1→→→

5.(2018·上海静安区月考)若四边形ABCD满足AD＝BC且|AB|＝|DC|，则四边形ABCD的形

2状是( ) A.等腰梯形 C.正方形

B.矩形 D.菱形

→1→→→→1→

解析 因为AD＝BC，所以AD∥BC，且|AD|＝|BC|，所以四边形ABCD为以AD为上底，BC22→→

为下底的梯形.又|AB|＝|DC|，所以梯形ABCD的两腰相等.因此四边形ABCD是等腰梯形. 答案 A

6.(2019·菏泽调研)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.

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解析 依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b??1－2k＝0，＝0，所以?

?k＋λ＝0，?

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解得k＝，λ＝－.

221

答案 －

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考点一 平面向量的概念

【例1】 (1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是( )

|a||b|A.a＝2b 1

C.a＝－b

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B.a∥b D.a⊥b

ab(2)给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；

→→

②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是( ) A.②③

B.①②

C.③④

D.②④

解析 (1)由＋＝0得＝－≠0，即a＝－·|a|≠0，则a与b共线且方向相

|a||b||a||b||b|反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使＋＝0成立.对照各个选项可知，

|a||b|选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b共线，方向相同或相反；选项C中a与b的方向相反；选项D中a与b互相垂直.

(2)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

→→→→→→

②正确.∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD→→

为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|AB|＝|DC|， →→→→→→AB∥DC且AB，DC方向相同，因此AB＝DC.

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ababbab