③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案 (1)C (2)A
规律方法 对于向量的有关概念应注意以下几点：
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性. (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈.
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.
|a||a|
【训练1】 (1)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，
aaBC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是( )
→→
A.AD＝BC →→C.PE＝PF (2)给出下列说法：
①非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件； →→
②若AB与BC共线，则A，B，C三点在同一条直线上； ③a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向； ④设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线. 其中错误说法的序号是________.
→→→→→→→
解析 (1)根据相等向量的定义，分析可得AD与BC不平行，AC与BD不平行，所以AD＝BC，AC＝
→→
B.AC＝BD →→D.EP＝PF
5
→
BD均错误，PE与PF平行，但方向相反也不相等，只有EP与PF方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以EP＝PF.
(2)根据向量的有关概念可知①②③正确，④错误. 答案 (1)D (2)④
考点二 平面向量的线性运算 角度1 向量的线性运算
→
【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝( ) 3→1→A.AB－AC 443→1→C.AB＋AC 44
1→3→
B.AB－AC 441→3→D.AB＋AC 44
多维探究
→
→
→→→→
1→→
解析 ∵E是AD的中点，∴EA＝－AD，
21→→→→→
∴EB＝EA＋AB＝－AD＋AB，
2又知D是BC的中点， →1→→
∴AD＝(AB＋AC)，
2
1→→→→3→1→
因此EB＝－(AB＋AC)＋AB＝AB－AC.
444答案 A
角度2 利用向量线性运算求参数
→
【例2－2】 (1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若BE→→
＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )
A.1
3B. 4
2C. 3
1D. 2
x→→→→→
(2)在锐角△ABC中，CM＝3MB，AM＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则＝________.
y解析 (1)∵E为线段AO的中点， →1→1→1→11→∴BE＝BA＋BO＝BA＋×BD
22222
6
1→1→→→＝BA＋BD＝λBA＋μBD， 24113∴λ＋μ＝＋＝.
244
→→→3→→
(2)由题设可得AM＝CM－CA＝CB＋AC
43→→→3→1→＝(AB－AC)＋AC＝AB＋AC， 44431x则x＝，y＝.故＝3.
44y答案 (1)B (2)3
规律方法 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.
→【训练2】 (1)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB＝
a，AC＝b，则AD＝( )
→→
1
A.a－b
21
C.a＋b
2
1
B.a－b
21
D.a＋b
2
12→→→
(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，
23
λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.
解析 (1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点， →1→1
得CD∥AB且CD＝AB＝a，
221→→→
所以AD＝AC＋CD＝b＋a.
2→→→1→2→(2)DE＝DB＋BE＝AB＋BC
231→2→→1→2→
＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC， 2363
7
→→→∵DE＝λ1AB＋λ2AC， 12
∴λ1＝－，λ2＝，
631
因此λ1＋λ2＝. 21
答案 (1)D (2)
2
考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a与b不共线.
→→→
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. →→→
(1)证明 ∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b).
→→→→→→∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.∴AB，BD共线，又它们有公共点B， ∴A，B，D三点共线.
(2)解 ∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ， 使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb， ∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k－1＝0，∴k＝±1.
规律方法 1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
2.向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.
→→
【训练3】 (1)已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，
2
C三点共线的充要条件为( )
A.λ＋μ＝2 C.λμ＝－1
B.λ－μ＝1 D.λμ＝1
2→
(2)(一题多解)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式xOA＋
xOB＋BC＝0成立的实数x的取值集合为( )
→→
8
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