对称式与轮换对称式

八年级实验班竞赛专题

-------对称式与轮换对称式

1． 基本概念

【定义1】一个n元代数式f(x1，x2，，???xn)，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i，j（1?i?j?n），都有

f(x1，，???xi，，???xj，，???xn)?f(x1，，???xj，，???xi，，???xn)

那么，就称这个代数式为n元对称式，简称对称式。

例如，x?y，xy，x?y，x2?y2?z2，xy?yz?zx都是对称式。 xy如果n元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项

2式f(x，y，z)中，若有ax项，则必有ay3，az3项；若有bxy项，则必有bxz，

32by2z，by2x，bz2x，bz2y项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

根据对称多项式的定义，可以写出含n个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x，y，z的二次对称多项式的般形式是：

a(x2?y2?z2)?b(xy?yz?zx)?c(x?y?z)?d

【定义2】如果一个n元多项式的各项的次数均等于同一个常数r，那么称这个多项式为n元r次齐次多项式。

由定义2知，当且仅当对任意实数t有 ???xn)是r次齐次多项式，n元多项式f(x1，x2，，f(tx1，tx2，，???txn)?trf(x1，x2，，???xn)。

例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：

a(x?y?z)?b(xy?xz?yx?yz?zx?zy)?cxyz。

【定义3】一个n元代数式f(x1，x2，，???xn)，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i，j?1?i?j?n?，都有

333222222f(x1，，???xi，，???xj，，???xn)??f(x1，，???xj，，???xi，，???xn)

那么就称这个代数式为n元交代式。

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例如，x?y，(x?y)(y?z)(z?x)，x?y均是交代式。 x?y【定义4】如果一个n交代数式f(x1，x2，，???xn)，如果将字母x1，x2，，???xn以x2代

x1，x3代x2，，???xn代xn?1，x1代xn后代数式不变，即

f(x1，x2，，???xn)?f(x2，x3，，???xn，x1)

那么称这个代数式为n元轮换对称式，简称轮换式。

显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，a(x2?y2?z2)是对称式也是轮换式；b(x2y?y2z?z2x)是轮换式，但不是对称式。

对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：

（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；

（2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式； （3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式； （4）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式； （5）多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。

【定义5】下面n个对称多项式称为n元基本对称多项式。

?1(x1，x2，???，xn)??xii?1n

?2(x1，x2，，???xn)?… … …

1?i?j?n?nxixj

?k(x1，x2，，???xn)?… … …

1?i1?i2?????ik?n?nxi1xi2???xik

?n(x1，x2，，???xn)?x1x2???xn

例如，二元基本对称多项式是指x?y，xy， 三元基本对称式是指x?y?z，xy?yz?zx，xyz

当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个n元对称多项式都可以表示为基本对称

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多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。

2．对称式、轮换式、交代式在解题中的应用

为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形，只需作类似的处理即可。

下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧

（1）若f(x，y，z)是对称式，则在解题中可设x?y?z。（为什么？）

（2）若f(x，y，z)是对称式，则当x，y满足性质p时，x，z；y，z也满足性质p。 （3）若f(x，y，z)是轮换式，则在解题中可设x最大（小），但不能设x?y?z。（为

什么？）

（4）若f(x，y，z)是轮换式，且x，y满足性质p，则y，z；z，x也满足性质p。 （5）若f(x，y，z)是交代多项式，则x?y，y?z，z?x是f(x，y，z)的因式，即其中g(x，y，z)是对称式。

f(x，y，z)?(x?y)(y?z)(z?x)g(x，y，z) 其中g(x，y，z)是对称式。

在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用的。

齐次对称多项式的一般形式：

（1）二元齐次对称多项式 一次：a(x?y)， 二次：a(x2?y2)?bxy 三次：a(x?y)?bxy(x?y)

（2）三元齐次对称多项式 一次：a(x?y?z)

二次：a(x?y?z)?b(xy?yz?zx)

333222x(y?z)?y(z?x)?z(x?y)? 三次：a(x?y?z)?b????cxyz

33222 判定mx?ny?rz是否为多项式f(x,y,z)，的因式的方法是：令mx?ny?rz?0，计算f(x，y，z)，如果f(x，y，z)=0，那么mx?ny?rz就是f(x，y，z)的因式，在实际

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