图2 图3 图4
②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，
BEBC，即BC2?BE?BF时，△BCE∽△BFC． ?BCBF1在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得(x?2)(x?m)?x?2．
m由于∠EBC＝∠CBF，所以
解得x＝2m．所以F′(2m,0)．所以BF′＝2m＋2，BF?2(2m?2)． 由BC2?BE?BF，得(m?2)2?22?2(2m?2)．解得m?2?22． 综合①、②，符合题意的m为2?22．
20XX年扬州市中考第27题 思路点拨
1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．
所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．
当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．
BHPH，BO＝CO，得PH＝BH＝2． ?BOCO所以点P的坐标为(1, 2)．
由
图2
（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,?6)或(1,0)．
设点M的坐标为(1,m)．
在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．
①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1． 此时点M的坐标为(1, 1)．
②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得m??6．
此时点M的坐标为(1,6)或(1,?6)．
③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6． 当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．
图3 图4 图5
20XX年临沂市中考第26题 思路点拨
1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．
2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．
满分解答
（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC?23．
所以点B的坐标为(?2,?23)．
（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)， 代入点B(?2,?23)，?23??2a?(?6)．解得a??所以抛物线的解析式为y??3． 633223x(x?4)??x?x． 663（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．
①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得y??23． 当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．
②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以42?(y?23)2?16．解得y1?y2??23． ③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以42?(y?23)2?22?y2．解得y??23． 综合①、②、③，点P的坐标为(2,?23)，如图2所示．
图2 图3
20XX年广州市中考第24题
思路点拨
1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个．
2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．
3．灵活应用相似比解题比较简便．
满分解答
333（1）由y??x2?x?3??(x?4)(x?2)，
848得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1．
（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．
过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．
DGCO3由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以??．
BGAO4399BG?，点D的坐标为(1,?)． 444因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．
2727而D′H＝DH，所以D′G＝3DG?．所以D′的坐标为(1,)．
44所以DG?
图2 图3
（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M． 以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．
联结GM，那么GM⊥l．
在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．
M1A3?，所以M1A＝6． AE43所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l为y??x?3．
43根据对称性，直线l还可以是y?x?3．
4在Rt△EM1A中，AE＝8，tan?M1EA?
20XX年杭州市中考第22题
思路点拨
1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是y?
k
．题目x
中的k都是一致的．
2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．
3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．
满分解答
（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是
y?
k． x
当k＝－2时，反比例函数的解析式是y??（2）在反比例函数y?2． xk中，如果y随x增大而增大，那么k＜0． x当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．
15抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝k(x?)2?k的对称轴是直线
241x??． 图1
21所以当k＜0且x??时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．
215（3）抛物线的顶点Q的坐标是(?,?k)，A、B关于原点O中心对称，
24当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．
15由OQ2＝OA2，得(?)2?(?k)2?12?k2．
2422解得k1?，k2??． 3（如图2）3（如图3）
33
图2 图3
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