关于正项级数收敛性的判别法

3.4 定理4（高斯判别法）[5]

设正项数列?un?满足

un?1p?n?1??1?,?有界,??0?，那么 ??nunnn?（1）当p?1时，级数?un收敛；

n?1（2）当p?1时，级数?un发散。

n?1?证明：取vn?1，则 snlnnssvnn?1?ln?n?1???1??1s?1???1???1?1?ln1??1?1?a ?????n??????vv?1n?lnn??n??lnnnn??????这里an?11?11?1??1???1?ln?1????o??o?????，故 ?lnn?n?lnn?n?n??nlnn?nlnn?vn?1?s1s?1???1???1???1???1?san?o?an????1???1??o??1???o???? vv?1?n?nnlnnnlnnnnlnnnlnn????????由已知可得

unv??s?1??n??o?? un?1vn?1nlnn?nlnn?unv?n?0，所以un?1vn?1故当??1时，取s使得1?s??时，?N0，当n?N0时有

??un?1vn?1。由于当s?1时，可知级数?vn收敛，所以级数?un收敛。 ?unvnn?1n?1?unvnun?1vn?1当??1时，取1?s??。即可得。由级数?vn发散，??0，所以?un?1vn?1unvnn?1?可得级数?un也发散。

n?13.5 定理5（库默尔判别法）[3]

?u?对于正项级数?an，如果lim?nan?an?1???，则

n??un?1?n?1??8

?（1）当??0时，级数?un收敛；

n?1?1（2）当级数?发散且??0时，级数?un发散（这里?n?N,an?0）。

an?1n?1n?证明：（1）由于??0，故存在N，当n?N时，有因此 unan?un?1an?1?nun?an?an?1? un?12?2un?1,??n?N,an?0?

n由此得 ??ukak?uk?1ak?1???uk?1

k?Nk?N2因此有 uNaN?un?1an?1?从而 0??uk?1?k?Nn??u?2k?Nnk?1

22??uNaN?un?1an?1???uNaN

??n?此即表明?un的部分和序列??uk?有上界，故级数?un收敛。

n?1n?1?k?1??根据假设存在N，故?n?N时，因此有 unan?un?1an?1 从而

un?1an1??unan?1an?1?unan?an?1?0 un?11 an?1而级数?发散，故级数?un发散。

n?1n?1an3.6 定理6（对数判别法）[4]

1??un?p?1，则级数?un收敛；若从对于正项级数?un，若从某一项起，有lnnn?1n?1ln9

1?un?1，则级数?un发散。 某一项起，有lnnn?1对数判别法的极限形式：

ln对于正项级数?un，如果

n?1?1unlim?r n??lnnln那么，当r?1时级数收敛；r?1时级数发散；r?1时级数的收敛性需要进一步判定。

3.7 定理7（隔项比值判别法）[3]

设正项级数?un的通项un是递减的，如果limn?1?1

（1）当??时，级数?un收敛；

2n?1?1

（2）当??时，级数?un发散。

2n?1?u2n??，则

n??un3.8 定理8（厄尔马可夫判别法）[4]

设f?x?为递减的正值连续函数，又设lim（1） 当??1时，级数?f?n?收敛；

n?1??exf?ex?f?x?x????，那么

（2） 当??1时，级数?f?n?发散。

n?13.9 定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4]

设f(x)为递减的正值连续函数，??x?为递增可导函数，并满足??x??x，如果

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limx???/?x?f???x??f?x???，那么

?（1）当??1时，级数?f?n?收敛；

n?1?（2）当??1时，级数?f?n?发散。

n?111