a2015年第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷(六年级第2试)

（1）当A匀速顺时针转动，C是顺时针转动还是逆时针转动？ （2）当A转动一圈时，C转动了几圈？

【解答】解：（1）如图，

答：当A匀速顺时针转动，C是顺时针转动．

（2）A：B：C＝15：10：5＝3：2：1 答：当A转动一圈时，C转动了3圈．

15．（15分）一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的的小正方体的个数？

【解答】解：大正方体表面积：6×6×6＝216， 体积是：6×6×6＝216，

切割后小正方体表面积总和是：216×

＝720，

倍，求切割成小正方体中，棱长为1

假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：（63﹣53）÷13＝91（个），这时表面积总和是：52×6+12×6×91＝696≠720，所以不可能有棱长为5的小正方体．

（1）同理，棱长为4的小正方体最多为1个，此时，不可能有棱长为3的小正方体，剩下的只能是切割成棱长为2的小正方体或棱长为1的小正方体，

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设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个， 则

解得：

（2）棱长为3的小正方体要少于（6÷3）×（6÷3）×（6÷3）＝8个，

设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，棱长为3的小正方体有c个，

化简：由上式可得： b＝9c+24，a＝

，

当c＝0时，b24＝，a＝24，

当c＝1时，b＝33，a＝19.5，（不合题意舍去） 当c＝2时，b＝42，a＝15，

当c＝3时，b＝51，a＝10.5，（不合题意舍去） 当c＝4时，b＝60，a＝6，

当c＝5时，b＝69，a＝28.5，（不合题意舍去） 当c＝6时，b＝78，a＝﹣3，（不合题意舍去） 当c＝7时，a＝负数，（不合题意舍去）

所以，棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个． 答：棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个．

16．（15分）如图，点M、N分别是边长为4分米的正方形ABCD的一组对边AD、BC的中点，P、Q两个动点同时从M出发，P沿正方形的边逆时针方向运动，速度是1米/秒；Q沿正方形的边顺时针方向运动，速度是2米/秒．求： （1）第1秒时△NPQ的面积； （2）第15秒时△NPQ的面积； （3）第2015秒时△NPQ的面积．

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【解答】解：（1）第1秒时，如图，

△NPQ的面积：（1+2）×4÷2 ＝3×4÷2 ＝6（平方分米）； （2）第15秒时，如图，

△NPQ的面积：（2+1）×4÷2 ＝3×4÷2 ＝6（平方分米）；

（3）因为16÷1＝16，16÷2＝8，

所以，第经过16秒，点P和点Q都回到出发点M， 2015÷16＝125…15（秒）

所以第2015秒时点P、点Q与第15秒时相同， 面积也是6平方分米．

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