6. 分别求222,3,4,5,6,7,8,9,10334455667788991010的个位数字。
7. 写出模10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20的最小非负完
全剩余系和最小正简化剩余系。
8. 写出模15的绝对值最小完全剩余系和最小正简化剩余系。
1,2,4,7,8,11,13,14。
9. 对各数a:2,3,4,5,6,12,24,28,30,60,180,210,220,284, 496,1260,2520, 8128
求?(a) (欧拉函数)、?(a)(正因子的个数)和?(a)(所有正因子之和)。 10. 令?(n)表示正整数n的所有小于n的正因子之和，即n的除自己之外的
所有的正因子之和。则 (ⅰ)求?(496)；
(ⅱ)证明：?(220)?284,而?(284)?220。
11. 证明：设m是正整数，且(a,m)?1，则a?(m)?1(modm)。
12. 设a,b为正整数，且(a,b)?1，证明?(ab)??(a)?(b)。
13. 证明：641|22?1。
14. 已知769与1013是素数，判定下列方程是否有解：
(ⅰ) x2 ? 1742 (mod 769)； (ⅱ) x2 ? 1503 (mod 1013)。
15. 已知3019，563，1847，3371都是素数，判定下列方程是否有解：
(ⅰ) x2 ? 374 (mod 3019)；Key: (ⅱ) x2 ? 429 (mod 563)； 16. 设p,q是两个不同的奇素数，且p?1(mod4)，证明：?
?q??p?????p???q?5。
四、计算、证明题(每小题10分)
1. 设a,b,c是正整数，证明：[a,b,c](ab,bc,ca)?abc. 2. 设a,b,c是正整数，证明：([a,b],c)?[(a,c),(b,c)].
3. 证明：对任意整数a,(a,561)?1，都有a560?1(mod561)，但561是合数。
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4. 求10!，15!，20!，25!，30!的标准分解式。
5. 某矩形的长和宽都为整数，且周长和面积数值相同，求长和宽。 6. 设x是任意实数，证明：[x]?[x?]?[2x]。
217. 求解下列不定方程：14x-21y=105。 8. 解不定方程15x?10y?6z?16。
9. 求不定方程5x+25y=100的全部非负整数解和全部正整数解。
10. 证明单位圆周上的一切有理点(坐标都是有理数的点)可以表示为：
22?2aba?b?,?2??222?a?b??a?b 及
?a2?b22ab?,???2222?a?b??a?b
其中，a,b为不全为零的整数，?号可任意选。
11. 求出0 数。 (提示：11个{{{3,4,5},{5,12,13},{15,8,17},{7,24,25},{21,20,29},{9,40,41}, {35,12,37}, {11,60,61},{45,28,53},{33,56,65},{13,84,85}})。 12. 设x,y,z是勾股数，x是素数，证明2z?1,2(x?y?1)都是完全平方数 13. 求最小正整数x，使得它被3,5,7除的余数分别是1,2,3。 14. 解同余方程：2x2 ? 13x ? 34 ? 0 (mod 53)。 15. 求解二次同余式x2?41(mod64)。 16. 设a,b是奇数，求雅可比符号?????4a?b?2a与??的关系。 ?a??b?17. 求二次同余式x2 ≡9 (mod 2800)的解数。 五、综合题(10分) 1. 通常在使用天平时，只允许将重物放在左盘，而将砝码放在右盘中。 证明：使用克数分别为：1，2，4，…，2n-1的n个特别砝码，可以称出0到2n-1之间的任意整克数； 2. 求(1237156?34)28被15除的余数。 3. 有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十 一人一组，则余3人。已知这队士兵在1000人到1160人之间，问这队士兵有几人？ 第10页（共10页）
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