几何综合
东城区
27. 已知△ABC中，AD是?BAC的平分线，且AD=AB， 过点C作AD的垂线，交 AD 的延长线于点H．
（1）如图1，若?BAC?60?
①直接写出?B和?ACB的度数； ②若AB=2，求AC和AH的长；
（2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．
27. （1）①?B?75?，?ACB?45?；--------------------2分
②作DE⊥AC交AC于点E.
Rt△ADE中，由?DAC?30?，AD=2可得DE=1，AE?3. Rt△CDE中，由?ACD?45?，DE=1，可得EC=1. ∴AC?3?1.
Rt△ACH中，由?DAC?30?，可得AH?3?3； --------------4分 2
（2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC
证明： 延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH. 易证△ACH ≌△AFH.
∴AC?AF,HC?HF. ∴GH∥BC. ∵AB?AD， ∴ ?ABD??ADB. ∴ ?AGH??AHG . ∴ AG?AH.
∴AB?AC?AB?AF?2AB?BF?2?AB?BG??2AG?2AH. --------------7分 西城区
27．正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转?，所得射线与线段BD交于点M，作CE?AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN． （1）如图，当0????45?时， ①依题意补全图．
②用等式表示?NCE与?BAM之间的数量关系：__________．
（2）当45????90?时，探究?NCE与?BAM之间的数量关系并加以证明． （3）当0????90?时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值．
ABMAD图1CD
【解析】（1）①补全的图形如图所示：
ABMEN
DC②?NCE?2?BAM．
（2）12?MCE??BAM?90?，
连接CM，
A
B
M
DQCEN
?DAM??DCM，
?DAQ??ECQ，
∴?NCE??MCE?2?DAQ，
∴?DCM?12?NCE，
∵?BAM??BCM，
B
C备用图
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