第1课时 方程的根与函数的零点
基础达标(水平一)
1.函数f(x)=x-的零点是( ).
A.1 B.-1 C.1和-1 D.不存在
【解析】∵x-==0,∴x=±1.
【答案】C
x2.函数f(x)=2+3x的零点所在的一个区间是( ).
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
【解析】∵f(x)为增函数,f(-1)=-<0,f(0)=1>0, ∴f(x)的零点位于区间(-1,0)内. 【答案】B
3.已知函数f(x)=A.,0 C.
B.-2,0 D.0
则函数f(x)的零点为( ).
【解析】当x≤1时,由f(x)=0,得2-1=0,所以x=0.当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=,不合题意,所以函数的零点为0,选D.
【答案】D
4.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是( ).
A.a<α x 【解析】∵α,β是函数f(x)的两个零点, ∴f(α)=f(β)=0. ∵f(x)=(x-a)(x-b)-2, ∴f(a)=f(b)=-2<0. 结合二次函数f(x)的图象(如图)可知,a和b必在α与β之间,只有选项C满足. 【答案】C x5.根据表格中的数据,可以判断方程e-x-2=0的一个根所在的区间是 . 1 x e x+2 xx-1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 【解析】令f(x)=e-x-2,则f(1)·f(2)<0,故方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(1,2). 【答案】(1,2) 6.方程ln x=8-2x的实数根x∈(k,k+1),k∈Z,则k= . 【解析】令f(x)=ln x+2x-8,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增. ∵f(3)=ln 3-2<0,f(4)=ln 4>0, ∴函数f(x)的零点在(3,4)内,∴k=3. 【答案】3 2 7.已知方程ax-2x+1=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数a的取值范围. 【解析】当a=0时,方程为-2x+1=0,只有一个根,不符合题意. 2 当a>0时,设f(x)=ax-2x+1, ∵方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上, ∴即解得 当a<0时,设方程的两个根分别为x1,x2, 则x1·x2=<0,即x1,x2一正一负,不符合题意. 综上,实数a的取值范围为. 拓展提升(水平二) 8.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)内的零点有1008个,则f(x)的零点的个数为( ). A.1008 B.1009 C.2016 D.2017 【解析】因为f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内有1008个零点,所以在(-∞,0)上也有1008个零点,又因为f(0)=0,所以共有2016+1=2017个零点. 【答案】D 9.方程0.9-x=0的实数解的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】设f(x)=0.9-x,则f(x)为R上的减函数,且f(0)>0,f(21)<0,故方程0.9-x=0的实数解的个数是1. 【答案】B 10.若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内,则 ①函数f(x)的零点在区间(1,2)或(2,3)内; ②函数f(x)在区间(3,5)内无零点; ③函数f(x)在区间(2,5)内有零点; ④函数f(x)在区间(2,4)内不一定有零点; ⑤函数f(x)的零点必在区间(1,5)内. 以上说法错误的是 .(将序号填在横线上) 【解析】由于三个区间是包含关系,而(1,5)范围最大,故零点可能在区间(1,5)的任何一个子区间内,故①②③错误. 【答案】①②③ 2 xxx11.设函数g(x)=ax2 +bx+c(a>0),且g(1)=-. (1)求证:函数g(x)有两个零点. (2)讨论函数g(x)在区间(0,2)内的零点个数. 【解析】(1)∵g(1)=a+b+c=-, ∴3a+2b+2c=0,∴c=-a-b. ∴g(x)=ax2+bx-a-b,∴Δ=b2+4a=(2a+b)2+2a2, ∵a>0,∴Δ>0恒成立, 故函数f(x)有两个零点. (2)根据g(0)=c,g(2)=4a+2b+c,由(1)知3a+2b+2c=0,∴g(2)=a-c. ①当c>0时,有g(0)>0,又∵a>0,∴g(1)=-<0, 故函数g(x)在区间(0,1)内有一个零点,故在区间(0,2)内至少有一个零点. ②当c≤0时,g(1)<0,g(0)=c≤0,g(2)=a-c>0, ∴函数f(x)在区间(1,2)内有一个零点, 综合①②,可知函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 第2课时 函数零点的应用 基础达标(水平一) 1.函数f(x)=的零点有( ). A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【解析】由f(x)==0得x=1或x=-2(舍去),∴函数f(x)只有1个零点.【答案】B 2.已知函数f(x)=若方程f(x)=k无实数根,则实数k的取值范围为( ). A.k D.k≥ 3 【解析】在同一平面直角坐标系内画出函数y=f(x)与y=k的图象如图所示,方程f(x)=k无实数根,即两个函数图象无交点,故k 【答案】A x3.若函数f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+e的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点( ). x-xA.y=f(-x)e-1 B.y=f(x)e+1 xxC.y=ef(x)-1 D.y=ef(x)+1 【解析】由已知可得f(x0)=-,则 f(x0)=-1,f(-x0)=1,故-x0一定是y=exf(x)-1的零点. 【答案】C 2 4.函数f(x)=ax+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在区间(1,2)上( )零点. A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.没有 【解析】若a=0,则b≠0,此时f(x)=bx+c为单调函数. ∵f(1)>0,f(2)<0,∴f(x)在区间(1,2)上有且仅有一个零点. 若a≠0,则f(x)为开口向上或向下的抛物线.若f(x)在区间(1,2)上有两个零点或无零点,则必有f(1)·f(2)>0. ∵f(1)>0,f(2)<0,∴f(x)在区间(1,2)上有且仅有一个零点,故选C. 【答案】C -|x-1|5.若函数y=2-m有零点,则实数m的取值范围是 . 【解析】由函数y=2 -|x-1|=的图象(图略)可知0 -|x-1|-m的图象与x轴有交 点,则0 【答案】0 x6.若函数f(x)=a-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 . x【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y=a与函数y=x+a图象交点的个数,由函数的图象可知当a>1时,两函数图象有两个交点;当0 【答案】(1,+∞) 2 7.若关于x的方程x+(k-2)x+2k-1=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数k的取值范围. 【解析】 令f(x)=x+(k-2)x+2k-1, 由图象可得只需f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0即可满足题意, 2 即 4
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