15. （2017广西河池3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合， 折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则
MN的值为【 】 BM
A．2 【答案】D。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。
【分析】过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案：
过点N作NG⊥BC于G，
∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC。 ∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。
由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN。 ∴AM=AN。∴AM=CM，∴四边形AMCN是平行四边形。 ∵AM=CM，∴四边形AMCN是菱形。
∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM=1：4。
设DN=x，则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。∴BM=x，GM=3x。 在Rt△CGN中，NG?CN2?CG2?在Rt△MNG中，MN?GM2?NG2?B．4 C．25 D．26
?4x?2?x2?15x，
?3x?2??15x=26x，
?2∴
MN26x==26。故选D。 BMx16. （2017河北省3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于【 】
A．70° B．40° C．30° D．20° 【答案】B。
【考点】翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，平行线的性质，平角的定义。 【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。
∵根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN=∠DMN，∴AB∥CD∥MN。 ∵∠A=70°，∴∠FMN=∠DMN=∠A=70°。
∴∠AMF=180°－∠DMN－∠FMN=180°－70°－70°=40°。故选B。
17. （2017青海西宁3分）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手 指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过 折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论 【 】
A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B．在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 【答案】C。
【考点】翻折变换（折叠问题）。
【分析】如图②，∵△CDE由△ADE翻折而成，∴AD=CD。
如图③，∵△DCF由△DBF翻折而成，∴BD=CD。
∴AD=BD=CD，点D是AB的中点。∴CD=故选C。
二、填空题
1AB，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 21. （2017上海市4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为 ▲ ．
【答案】3?1。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质。
【分析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AC?BC1??3。
tan?Atan300∵将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，∴∠ADB=∠EDB，DE=AD。 ∵AD⊥ED，∴∠CDE=∠ADE=90°，
3600?900∴∠EDB=∠ADB==1350。
2∴∠CDB=∠EDB﹣∠CDE=135°－90°=45°。 ∵∠C=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°。 ∴CD=BC=1。∴DE=AD=AC﹣CD=3?1。
2. （2017浙江丽水、金华4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是 ▲ ．
【答案】50°。
【考点】翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。 【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，进而求出即可：
连接BO，
∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分线，∴AO是BC的中垂线。 ∴BO＝CO。
∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O， ∴∠OAB＝∠OAC＝25°。
∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°。 ∴∠OBC＝65°－25°＝40°。∴∠OBC＝∠OCB＝40°。
∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。 ∴∠CEF＝∠FEO＝（1800－2×400）÷2＝50°。
3. （2017浙江绍兴5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为 ▲ 。
【答案】3。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】连接CC′，∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处,
∴EC=EC′，∴∠EC′C=∠ECC′， ∵∠DC′C=∠ECC′，∴∠EC′C=∠DC′C. ∴CC′是∠EC'D的平分线。
∵∠CB′C′=∠D=90°，C′C=C′C，∴△CB′C′≌△CDC′（AAS）。∴CB′=CD。
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