2017-2018学年高中数学三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系学案新人教A版

1．2.2 同角三角函数的基本关系

预习课本P18～20，思考并完成以下问题 (1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？

(2)已知sin α，cos α和tan α其中的一个值，如何求其余两个值？

[新知初探]

同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sinα＋cosα＝1. sin α

(2)商数关系：tan_α＝

cos α这就是说，同一个角α

2

2

?α≠kπ＋π，k∈Z?. ??2??

的正切

的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α

?α≠kπ＋π，k∈Z?.

??2??[点睛] 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin3α＋cos3α＝1.

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α，sin

2

2

2

α2α

＋cos＝1都成立．( ) 33

sin 2α

(2)对任意角α，＝tan 2α都成立．( )

cos 2α(3)若cos α＝0，则sin α＝1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×

3?π?2．已知α∈?0，?，sin α＝，则cos α＝( )

2?5?4

A． 51C．－ 7

4B．－ 53D． 5

答案：A

1

3．已知cos α＝，且α是第四象限角，则sin α＝( )

21A．± 2C．－3 2

B．±3 2

1D．－ 2

答案：C

5?π?4．已知sin α＝，α∈?，π?，则tan α＝________. 13?2?5

答案：－

12

利用同角基本关系式求值 12[典例] (1)已知sin α＝，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.

13(2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cosα的值．

2

?12?2?5?222

[解] (1)cosα＝1－sinα＝1－??＝??，又α是第二象限角，所以cos α<0，

?13??13?

5sin α12

cos α＝－，tan α＝＝－.

13cos α5

(2)由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.

2sin αcos α－cosα2tan α－1－4－1所以2sin αcos α－cosα＝＝＝＝－1. 222

sinα＋cosαtanα＋14＋1

2

2

1．求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化

为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sinα＋cosα来代换，将分子、分母同除以cosα，可化为关于tan α的式子，再代入求值． [活学活用] 4

(1)已知cos α＝－，求sin α和tan α.

52sin α－3cos α

(2)已知tan α＝2，试求的值．

cos α＋sin α

222?4?2?3?222

解：(1)sinα＝1－cosα＝1－?－?＝??，

?5??5?

4

因为cos α＝－<0，所以α是第二或第三象限角，

53sin α3

当α是第二象限角时，sin α＝，tan α＝＝－；

5cos α43sin α3

当α是第三象限角时，sin α＝－，tan α＝＝. 5cos α4(2)由tan α＝2可得sin α＝2cos α， 故

2sin α－3cos α4cos α－3cos αcos α1

＝＝＝.

cos α＋sin αcos α＋2cos α3cos α3

三角函数式的化简 [典例] (1)化简： . 2sin 130°＋1－sin130°1

－1. 2

sinα

1－2sin 130°cos 130°(2)若角α是第二象限角，化简：tan α [解] (1)原式＝

sin130°－2sin 130°cos 130°＋cos130°

2

sin 130°＋cos130°＝＝

|sin 130°－cos 130°|

sin 130°＋|cos 130°|sin 130°－cos 130°

＝1.

sin 130°－cos 130°

1－sinα

＝tan α 2

sinα

222

(2)原式＝tan α

cosαsin α|cos α|

＝×，因为α是2

sinαcos α|sin α|

2第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，

sin α|cos α|sin α－cos α

所以原式＝×＝×＝－1.

cos α|sin α|cos αsin α

三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简

的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sinα＋cosα＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． [活学活用] sin α

化简：(1)· 1－cos α(2) －tan θ

tan α－sin α

；

tan α＋sin α

2

221??2

θ＋?1＋·sinθ. ?tan θ

??

sin α

解：(1)原式＝· 1－cos αsin α＝· 1－cos α＝

－cos α

2

1－cosα

1－cos α

1＋cos α

2 sin α1－cos α

·＝±1.

1－cos α|sin α|

(2)原式＝

cos θ－sin θsin θ＋cos θ22

·cosθ＋·sinθ

cos θsin θ＝cosθ－sin θcos θ＋sinθ＋sin θcos θ ＝cosθ＋sinθ＝1.

证明简单的三角恒等式 tan α·sin αtan α＋sin α[典例] 求证：＝.

tan α－sin αtan αsin αtan α·sin αα＋sin α

[证明] 法一：左边＝22

tanα－sinα＝＝＝＝

tan α·sin αα＋sin α

222tanα－tanα·cosαtan α·sin α

2tanα

α＋sin α2

－cosα

222

2

tan α·sin αα＋sin α

22tanα·sinαtan α＋sin α

＝右边，

tan α·sin α

∴原等式成立． 法二：右边＝tanα－sinα

α－sin αα·sin α

2

2