2020高考冲刺数学总复习压轴解答：数列与不等式的综合问题（附答案及解析）

Tn?1??11??11?1??1?11?n?1????...????? ??????????2??35??57??2n?12n?3??2?32n?3?3(2n?3)an?13?2n?14??6n?9?126??12n??102 Tnnn（2）tTn?an?13，即t??42??42?126,???0,?102,?x?0?，根据双勾函数性质知：函数在?设f?x??12x?上单调递增，在??????22x????上单调递减.计算f?3??180，f?4??181.5，故当n?3时，12n?【举一反三】

（2020·重庆高三月考）已知数列?an?的前n项和为Sn，Sn?2an?n. （1）证明：?an?1?为等比数列； （2）设bn?log126?102有最小值为180.故t?180. n2an?1，若不等式

1111????????t对?n?N*恒成立，求t的最小值. b1b2b2b3b3b4bnbn?1【答案】（1）见解析（2）

1 4【解析】（1）an?Sn?Sn?1?2an?2an?1?1?an?1?2?an?1?1?(n?2), 故?an?1?为等比数列.

n?1nn（2）令n?1,则有S1?2a1?1?a1??1,所以an?1??a1?1??2??2,所以an?1?2,

令bn?log令cn?2an?1?log22n?2n,

11?11?????, bnbn?14?nn?1?所以

1111?111111?????????????...??? b1b2b2b3bnbn?14?1223nn?1?1?1?1111??1????t?.. 所以?4?n?1?44?n?1?44故t的最小值为

1. 4方向三 数列参与的不等式的证明问题

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典例3．（2020·河南高三期末）已知数列?an?满足123nn???…??．

2a1?52a2?52a3?52an?53（1）求数列?an?的通项公式； （2）设数列??1?nT1?a?的前项和为n，证明：?T?1． nan?1?22n6【答案】（1）a3n?5n?2（2）证明见解析 【解析】（1）

123nn2a?2a??…??3，①

1?52?52a3?52an?5当n?1时，a1?4．

当n?2时，12a?2?5?32a?…?n?1?n?1，②

1?52a23?52an?1?53由①-②，得a3n?5n?2?n?2?， 因为a符合上式，所以a3n?51?4n?2．

（2）证明：1a?43n?5??3n?8??4?3?1?3n?5?1?3n?8?? nan?1?Tn?1a?1a?…?1 1a22a3anan?1?4??11??11?1?3?????8?11?????11?14???…???1?3n?5?1?3n?8??????43???1?8?3n?8??

因为0?13n?8?111，所以122?T?1n6． 典例4．（2020·江苏高三期末）已知数列?a?1n?满足ana?2?n?N*11?，且a1?2.

n?（1）求数列?an?的通项公式；

（2）设数列?a4n?的前n项和为Sn，求证：当n?2时，S2n?1?Sn?1?n?5. 【答案】（1）ann?n?1（2）证明见解析 14 / 44

【解析】（1）法一：Qa11?12，且an?a?2, n?1?112?a?2,?a22?，

23同样可求得a3?344,a4?5，

猜想：ann?n?1， 以下用数学归纳法证明

①当n?1时，a11?2?11?1，符合ann?n?1， ②假设n?k时，akk?1?k?N*k??， 则n?k?1时，a1kk?a?2，即?1?2， k?1k?1ak?1?1kk?a?2??1?2k?1,

k?1k?ak?1k?1?k?2符合ann?n?1， 综上：ann?n?1. 法二：由a1n?a?2得1?1?1?an, n?1an?1?1?an?1a?1?aan?11n，1?a?， n?1n?11?an即?1?111?a?，?1?1?1, n?11?an1?an?11?an???1??1?a?是等差数列，首项为2，公差为1，

n??11?a?n?1,则ann??1. nn（2）当n?2时，S2n?1?Sn?1?ann?12n?n?an?1?????a2n?1?n?1?n?2?????12n，法一：先证明x?(0,1)时，x?1?lnx，

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1x?1令f(x)?x?1?lnx,x?(0,1)，则f?(x)?1?x?x?0， ?f(x)?x?1?lnx,x?(0,1)为减函数，

则f(x)?f(1)?0,?x?(0,1)时，x?1?lnx.

?n?2时，

nnn?1??1n?2?????2n?12n????1?lnn?n?1??????1?lnn?1?n?2?????????2n?1??1?2n?? ?[1?lnn?ln(n?1)]?[1?ln(n?1)?ln(n?2)]?????[1?ln(2n?1)?ln(2n)] ?n?lnn?ln(2n)?n?ln2，

又Qe4?2.54?6.252?36?25,?4?5ln2,即ln2?45, ?n?ln2?n?45，

?n?2时，

nn?1n?1?n?2?????2n?12n?n?45， ?当n?2时，S42n?1?Sn?1?n?5.

法二：Qnn?12n?1111n?1?n?2????2n?1?n?1?1?n?2?????1?2n ?n???1?n?1?1n?2?????1?2n??，

?要证明

nn?12n?1?n?2?????n?12n?n?45(n?2)， 即证

1n?1?114n?2?????2n?5， 设s?1n?1?1n?2?????12n， 则s?12n?12n?1?????1n?2?1n?1， ?2s???11??11?1??n?1?2n?????n?2?2n?1????????1?2n??n?1??

?2n?(n?1)(2n?1)?(n?2)((n?1)?2n?(n?2)?(2n?1)????n?1)?2n2n?(n?1)

?(3n?1)??111??(n?1)?2n?(n?2)?(2n?1)????2n?(n?1)??

由(n?k?1)?(2n?k)?2n(n?1)?2nk?k(n?k?1)?2n(n?1)?k(n?k?1)得：

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