初中数学《最值问题》典型例题
一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短；
直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）
是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 几何最值问题中的基本模型举例 B图形 轴对称最值 BAAPlB三角形三边关系 APl MNl 原理 两点之间线段最短 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一特征 个动点，求AP+BP的最小值 作其中一个定点关于定转化 直线l的对称点 两点之间线段最短 A，B为定点，l为定直线，A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线P为直线l上的一个动段，求AM+BN的最小值 点，求|AP-BP|的最大值 先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线l的对称点 A图形 B'MBNC 原理 两点之间线段最短 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，特征 B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化 转化成求AB'+B'N+NC的最小值 二、典型题型 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN的周长的最小值为 ．
折叠最值
【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解． 【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
1
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD． ∴△COD是等腰直角三角形． 则CD=2OC=2×32=6．
【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．
2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．
【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．
把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时PA+NB最短．
设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．
【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1）， 作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1）， 设直线AB″的解析式为y=kx+b，
?1?2k?b，解得k=4，b=﹣7．
?3?k?b?777∴y=4x﹣7．当y=0时，x=，即P（，0），a=．
4447故答案填：．
4则?
【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．
2
3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为 ．
ADMB′NBP
【分析】作点B于直线l的对称点B′，则PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，则当A，B′、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理求得PA、PB′的值，进而求得|PA﹣PB|的最大值．
【解答】解：作点B于直线l的对称点B′，连AB′并延长交直线l于P． ∴B′N=BN=1，
过D点作B′D⊥AM， 利用勾股定理求出AB′=5 ∴|PA﹣PB|的最大值=5．
【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．
4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 ．
【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2．
【解答】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3， 当点Q与D重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1． 则点A′在BC边上移动的最大距离为3﹣1=2． 故答案为：2
【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．
5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于 ．
3
【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决． 【解答】解：如图，
∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°， ∴四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，
∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小， 此时E与点B重合； 由题意得：PE=AB=8， 由勾股定理得： BD2=82+62=80， ∴BD=45， ∴PD=45?8．
【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．
6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ．
【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大． 【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE， ∵∠MON=90°，AB=2 ∴OE=AE=
∵BC=1，四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=1，
∴DE=2，
根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，
4
1AB=1， 2∴当OD过点E是最大，最大值为2+1． 故答案为：2+1．
【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．
7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是 ．
【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=定理然后用配方法即可求解．
【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，
∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形， ∴CD=
22x，CD′=（4﹣x），根据勾股22∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，
∴∠DCE=90°， ∴DE2=CD2+CE2=
22x，CD′=（4﹣x）， 22∵根据二次函数的最值，
∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4． 故答案为：2．
【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值． 8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 ．
121x+（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4， 22
【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．
【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°， ∴点P′到CD的距离为2×3=3， 2 5
∴PK+QK的最小值为3．
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