专题：实数与代数式

实数与代数式

一、 知识体系

（一） 实数的有关概念 1. 实数的分类：

正整数 0 整数

(有限或无限循环性数) 负整数 有理数 正分数 分数

负分数 实数 无理数(无限不循环小数)

正无理数 负无理数

整数

有理数 正数 无理数

实数 0

有理数 负数 无理数

分数 整数 分数

2. 数轴：

（1） 三要素：原点、正方向、单位长度 （2） 数轴上的点与实数一一对应。

3. 相反数：实数a的相反数是-a，零的相反数还是零。

（！）a、b互为相反数，则a+b=0

（2）在数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。 4. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数。零没有倒数。 若a、b互为倒数，则ab=1 5. 绝对值 |a|=a（a＞0）|a|=0（a=0）|a|=-a（a＜0） 6. 非负数：形如|a|（a?0），a都表示非负数。

7. 科学计数法：把一个数写成a×10的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数）

8. 近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起，到精确的位数为止，所以的数字，都叫这个数的有效数字。

（二）实数的运算与实数的比较大小

1. 在实数范围内，加减乘除（除数不为零）、乘方都可以进行，但开方运算不一定都能进行，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方。 2. 有理数的一切运算性质的运算律都适用于实数运算。 3. 实数的比较大小：

（1）一般规则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大

n

的比较大，两个负数，绝对值大的反而小。

（2）利用数轴：在数轴上表示两个实数，右边的数总是大于左边的数。

（3）设a、b是任意实数，a-b＞0

?a＞b，a-b＜0

?a＜b，a-b=0

?a=b

（三）代数式

1. 代数式的有关概念 （1）代数式的分类：

（2）同类项、合并同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项时，只把系数相加，所含字母和字母指数不变。

2. 去括号和添括号法则：前面是“+”，去（添）掉括号不变号；前面是“-”，去（添）掉括号要变号。 3. 整式的运算

（1）加减运算：先去括号或添括号，再合并同类项。 （2）乘除运算：

幂的运算性质：a·a=a (am)n=amnmnm?n（m、n为整数，a?0）

（m、n为整数，a?0）

(ab)n=ab（n为整数，a?0 ，b?0） a÷a=a

0m

nm?nnn（m、n为整数，且a?0）

?n a=1（a?0），a=

11n()（a?0） = naa22乘法公式：平方差公式：（a+b）（a-b）=a?b

完全平方公式：(a?b)?a?2ab?b

22单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘。

单项式与多项式相乘：与多项式的每一项分别相乘，m（a+b+c）=ma+mb+mc

多项式与多项式相乘：（m+n）(a+b)=ma+mb+na+nb 单项式除以单项式：系数、同底数幂相除

多项式除以单项式：多项式的每一项除以单项式，然后把所得的商相加。

4. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 基本方法：（1）提取公因式法：ma+mb+mc= m（a+b+c） （2）运用公式法：平方差公式，完全平方公式 （3）分组分解法：先分组，后提取公因式或用公式

（4）十字相乘法：对x?(p?q)x?pq型式子的因式分解：

2x2?(p?q)x?pq=(x?p)(x?q)

（5）求根公式法：在分解二次三项式ax?bx?c的因式时，可先用公式求

2

方程ax?bx?c=c的两个根x1,x2，然后得ax?bx?c=a(x?x1)(x?x2)

（6）其他方法：配方法，换元法，拆项添项法。

225. 分式：用A、B表示两个整式，A÷B可以表示为就叫做分式。

AA的形式，若B中含有字母，式子BBAA?MAA?M=，=（其中M是不等于零的整式） BB?MBB?Ma?aa?a????（2）分式的符号法则：?

b?b?bbaba?bacad?bc（3）分式的运算：??，??

cccbdbdacacacadacad ??，???=??

bdbdbdbcbdbc（1）分式的基本性质：

anan()?n（n为正整数） bb（4）约分：去分子和分母中的公因式

（5）通分：把异分母分式化为和原来分式相等的同分母分式。

6. 二次根式：式子a（a?0）叫做二次根式。

（1）二次根式的性质：(a)2?a（a?0）

a2?|a|

ab?a?b(a?0,b?0) ab（b?0,a?0） ?ba1a=

（2）分母有理化：

a; a二、解题思路：

1. 实数的分类：基本概念

2. 实数的比较大小：性质，数轴

3. 科学技术法的表示，注意a×10中a的范围

4. 化简计算：考察代数式的性质、因式分解的方法与基本运算法则 三.、题型体系：本专题常考题目主要有选择题、填空题与化简计算题。 （一）选择题：

1.（2009·北京）改革开放以来，我国国内生产总值有1978年的3645亿增长到2008年的300670亿元，将300670用科学记数法表示应为：（） A.0.30067?10 B.3.0067?10 C.3.0067?10 D.30.067?10

6544n

解析：B

考点：科学记数法的表示：把一个数写成a×10的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数）注意a的范围以及准确的判断n 2.（2009·江苏）如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（ ）

B A．a?b?0 B．ab?0 A 0 a 1 b a?b?0C． D．|a|?|b|?0

（第2题）

解析：C

考点：数轴的性质：右边的数总比左边的数大，b<-1,0

?1n3.(2009·日照）计算?(?3a2b3)4的结果为：（） A. 81ab B. 12ab C. ?12ab D. ?81ab 解析：D

考点：幂的运算性质。 (am)n=amn8126767812（m、n为整数，a?0）

4.（2006·南充）已知a<0，那么|a2?2a|可化为：（） A. –a B. a C. -3a D.3a 解析：C

考点：绝对值、二次根式的性质。a<0，a2=-a，-a-2a=-3a，而绝对值后大于等于零，所以答案C

5.（2007·黄冈）下列运算中错误的是：（） A．?abac?a?b0.5a?b5a?10bx?yy?x??1 C。??（c ?0） B。 D。

bca?b0.2a?0.3b2a?3bx?yy?x解析：D

考点：分式的基本性质。 B.

?a?b?(a?b)??=?1 a?ba?bC.

0.5a?b(0.5a?b)?105a?10b??

0.2a?0.3b(0.2a?0.3b)?102a?3b26.（2007·济南）已知整式6x-1的值为2，y?y的值为2，则

(5x2y?5xy?7x)?(4x2y?5xy?7x)为（）

A. ?11111111或? B. 或? C. ?或 D. 或 42424242解析：B

考点：去括号、添括号法则；因式分解的方法；解方程