2020高中数学第三章指数函数和对数函数3.5对数与对数函数课时作业11

5ba13.(2016·浙江卷)已知a>b>1，若logab＋logba＝，a＝b，则a＝________，b＝________.

215

解析 ∵logab＋logba＝logab＋＝，

logab21

∴logab＝2或.∵a>b>1，∴logab

2

12ba2b22b2

∴logab＝，∴a＝b.∵a＝b，∴(b)＝bb，∴b＝bb，

2∴2b＝b，∴b＝2，∴a＝4. 答案 4 2

12

14.设x∈[2，8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(ax)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最

21

小值是－，求a的值.

8

1

解 由题意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)

212

＝(logax＋3logax＋2) 2

3?211?

＝?logax＋?－. 2?82?

13

当f(x)取最小值－时，logax＝－. 82又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1). ∵f(x)是关于logax的二次函数，

∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得. 3?211?1

若?loga2＋?－＝1，则a＝2－，

2?82?3

13

此时f(x)取得最小值时，x＝(2－)－＝2?[2，8]，舍去.

323?211?1

若?loga8＋?－＝1，则a＝，

2?82?2

3

－

?1?2＝22∈[2，8]，

此时f(x)取得最小值时，x＝???2?1

符合题意，∴a＝.

2

2

5