探究1 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2，3，4，?堆最底层(第一层)分别按图1-1-2所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，
f(3)，f(4)的值.
图1-1-2
【提示】 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20. 探究2 上述问题中，试用n表示出f(n)的表达式.
【提示】 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；?；f(n)＝f(n－1)＋
将以上(n－1)个式子相加可得
n（n＋1）
2
.
n（n＋1）
f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋?＋ 2
1222
＝[(1＋2＋?＋n)＋(1＋2＋3＋?＋n)] 2
n（n＋1）?n（n＋1）（n＋2）1?1
＝?n（n＋1）（2n＋1）＋. ?＝22?66?
有两种花色的正六边形地面砖，按如图1-1-3的规律拼成若干个图案，则第6
个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
图1-1-3
A.26 C.32
B.31 D.36
【精彩点拨】 解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论. 【自主解答】 法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案 个数 1 6 2 11 3 16 ? ? 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案
5
1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.
【答案】 B
归纳推理在图形中的应用策略
通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：
[再练一题]
3.根据图1-1-4中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.
图1-1-4
【解析】 分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1＝2－3，5＝2－3，13＝2－3，29＝2－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为2
【答案】 509
[构建·体系]
8＋1
2
3
4
5
－3＝509.
6
1.(2016·厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图1-1-5所示：
图1-1-5
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A.6n－2 C.6n＋2
B.8n－2 D.8n＋2
【解析】 a1＝8，a2＝14，a3＝20，猜想an＝6n＋2. 【答案】 C
2.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( ) A.至多等于3 C.等于5
B.至多等于4 D.大于5
【解析】 n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；
n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能.
【答案】 B
1112222223.(2016·福建安溪模拟)已知1＝×1×2×3，1＋2＝×2×3×5，1＋2＋3＝
66612242222*
×3×4×7，1＋2＋3＋4＝×4×5×9，则1＋2＋?＋n＝________.(其中n∈N).
6
12223
【解析】 根据题意归纳出1＋2＋?＋n＝n(n＋1)(2n＋1)，下面给出证明：(k＋1)
6－k＝3k＋3k＋1，则2－1＝3×1＋3×1＋1，3－2＝3×2＋3×2＋1，??，(n＋1)－
3
2
3
3
2
3
3
2
3
n3＝3n2＋3n＋1，累加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋?＋n2)＋3(1＋2＋?＋n)＋n，整理得12
1122
＋2＋?＋n＝n(n＋1)(2n＋1)，故填n(n＋1)(2n＋1).
66
1
【答案】 n(n＋1)(2n＋1)
64.观察下列等式：
7
1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第五个等式应为________.
【导学号：94210002】
【解析】 由于1＝1，2＋3＋4＝9＝3，3＋4＋5＋6＋7＝25＝5，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝7，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝9＝81.
【答案】 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 5.有以下三个不等式：
(1＋4)(9＋5)≥(1×9＋4×5)， (6＋8)(2＋12)≥(6×2＋8×12)， (20＋10)(102＋7)≥(20×102＋10×7).
请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论. 【解】 结论为：(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd). 证明：(a＋b)(c＋d)－(ac＋bd)
＝ac＋ad＋bc＋bd－(ac＋bd＋2abcd) ＝ad＋bc－2abcd＝(ad－bc)≥0. 所以(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd).
我还有这些不足：
(1) (2) 我的课下提升方案：
(1) (2)
学业分层测评(一) (建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.数列5，9，17，33，x，?中的x等于( ) A.47 C.63
2
2
2
2
2
22
22
2
22
22
22
22
22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B.65 D.128
8
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