2018-2019学年浙江省绍兴市高二下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年浙江省绍兴市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．复数z?1?i(i为虚数单位）的虚部为（ ） A．1 【答案】B

【解析】由虚数的定义求解． 【详解】

复数z?1?i的虚部是－1． 故选：B． 【点睛】

本题考查复数的概念，掌握复数的概念是解题基础．

B．?1

C．i

D．?i

vvvva?(1,?1,0)2．已知空间向量， b?(3,?2,1)，则a?b?（ ）

A．5 【答案】D

【解析】先求a?b，再求模． 【详解】

∵a?(1,?1,0)， b?(3,?2,1)，

B．6

C．5

D．26

rrrrrrrr222∴a?b?(4,?3,1)，∴a?b?4?(?3)?1?26．

故选：D． 【点睛】

本题考查空间向量模的坐标运算，掌握空间向量模的坐标运算公式是解题基础． 3．已知函数f(x)?3x2，则f?(3)? （ ） A．6 【答案】C

【解析】先求出导函数f(x)，再计算导数值． 【详解】

∵f(x)?3x2，∴f?(x)?6x，∴f?(3)?6?3?18． 故选：C．

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?B．12 C．18 D．27

【点睛】

本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数公式和导数运算法则是解题基础． 4．设x?R，则“2?x?3”是“x?2?1”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分条件 【答案】A

【解析】分析两个命题的真假即得，即命题2?x?3?x?2?1和

B．必要条件

D．既不充分也不必要条件

x?2?1?2?x?3．

【详解】

2?x?3?x?2?1为真，但x?2?1时?1?x?2?1?1?x?3．所以命题

x?2?1?2?x?3为假．故应为充分不必要条件．

故选：A． 【点睛】

本题考查充分必要条件判断，充分必要条件实质上是判断相应命题的真假：p?q为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

x2y25．已知双曲线2?2?1的一条渐近线方程为y??2x，则此双曲线的离心率为

ab（ ） A．5 【答案】B

【解析】由渐近线方程得出【详解】

∵双曲线的一条渐近线方程为y??2x，∴

B．5 C．

5 4D．5 2bc的值，结合a2?b2?c2可求得 aab?2， acb2c2?a2?5，即离心率为e?5． ∴2?，解得?4aaa2故选：B． 【点睛】

本题考查双曲线的渐近线和离心率，解题时要注意a2?b2?c2，要与椭圆中的关系区别开来．

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x2y26．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别F1，F2，焦距为4，若以原点为

ab圆心，F1F2为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，则此椭圆的方程为（ ）

x2y2A．??1

84x2y2?1 C．?48【答案】A

x2y2B．??1

3216x2y2D．??1

164【解析】已知2c，又以原点为圆心，F1F2为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，这两个公共点只能是椭圆短轴的顶点，从而有b?c，于是可得a，从而得椭圆方程。 【详解】

∵以原点为圆心，F1F2为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，∴这两个公共点只能是椭圆短轴的顶点，∴b?c，又2c?4即c?2，∴a?b2?c2?22?22?22，

x2y2∴椭圆方程为??1。

84故选：A。 【点睛】

本题考查椭圆的标准方程，解题关键时确定a,b,c的值，本题中注意椭圆的对称轴，从而确定b,c关系。

7．若函数f(x)?mx3?2x2?3x?1存在单调递增区间，则实数m的值可以为（ ）A．?2 3B．?3 3C．?2 3D．?23 9【答案】D

【解析】根据题意可知f'(x)?0有解,再根据二次函数的性质分析即可. 【详解】

32由题, 若函数f(x)?mx?2x?3x?1存在单调递增区间,则

f'(x)?3mx2?4x?3?0有解.当m?0时显然有解.当m?0时,??16?4?3m???3??0,解得m??4. 9第 3 页 共 18 页

因为四个选项中仅?故选：D 【点睛】

234??. 99本题主要考查了利用导数分析函数单调区间的问题,需要判断出导数大于0有解,利用二次函数的判别式进行求解.属于中档题.

8．若过点P(1,n)可作两条不同直线与曲线y?x?2x??1?x?2?相切，则n（ ）

2A．既有最大值又有最小值 C．有最小值无最大值 【答案】C

【解析】数形结合分析临界条件再判断即可. 【详解】

B．有最大值无最小值 D．既无最大值也无最小值

对y?x?2x??1?x?2?求导有y'?2x?2??1?x?2?,当x?2时y'?6,此时切

2线方程为y?2?2?2?6?x?2??y?6x?4,此时n?6?4?2.

2??此时刚好能够作出两条切线,为临界条件,画出图像有：

又当x?1时 y?3为另一临界条件,故n??2,3?.故n有最小值无最大值.

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故选：C 【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中档题.

9．已知a?b?0，则下列不等式正确的是（ ） A．a?b?b?a abB．3?b?3?a

C．lga?b?lgb?a 【答案】C

D．lga?b?lgb?a

【解析】考虑到C,D中不等号方向，先研究C，D中是否有一个正确。构造函数

y?lgx?x是增函数，可得当a?b?0时，有a?lga?b?lgb,所以

lga?b?lgb?a,作差W=lgb?a?lga?b，lgb?a?0，对lga?b可分类，

lga?b和lga?b

【详解】

令y?lgx?x，显然单调递增，所以当a?b?0时，有a?lga?b?lgb,所以

lga?b?lgb?a,另一方面因为lgb?b?a,lgb?a?0,所以

W=lgb?a?lga?b?a?lgb-lga?b，当lga?b时，

W=a?lgb?lga?b?a?lga?b?lgb?0，当lga?b时，

W=a?lgb+lga-b?a+lga-(b?lgb)?0（由y?lgx?x递增可得），

∴lgb?a?lga?b，C正确。 故选：C。 【点睛】

本题考查判断不等式是否成立，考查对数函数的性质。对于不等式是否成立，有时可用排除法，即用特例，说明不等式不成立，从而排除此选项，一直到只剩下一个正确选项为止。象本题中有两个选项结论几乎相反（或就是相反结论时），可考虑先判断这两个不等式中是否有一个为真。如果这两个都为假，再考虑两个选项。 10．对任意的n?N?，不等式(1?)?e(则a的最大值为（ ）

1nnna)（其中e是自然对数的底）恒成立，n?1第 5 页 共 18 页

A．ln2?1 【答案】B

B．

1?1 ln2C．ln3?1

D．

1?1 ln3?1?【解析】问题首先转化为?1???n?恒成立，分离参数只需

n+a?1??e恒成立，取自然对数只需(n?a)ln?1???1?n?a?11ln(1?)n?n恒成立，构造m(x)?11?,x??0,1?，

ln(1?x)x只要求得m(x)的最小值即可。这可利用导数求得，当然由于函数较复杂，可能要一次次地求导（对函数式中不易确定正负的部分设为新函数）来研究函数（导函数）的单调性。 【详解】

na?1?对任意的n?N*，不等式?1???e()（其中e是自然对数的底）恒成立，只需n?1?n??1??1???n?n+an1a??n?1?1恒成?e恒成立，只需(n?a)ln?1???1恒成立，只需

ln(1?)?n?n11(1?x)ln2(1?x)?x2?,x??0,1?，m'(x)?2,x??0,1?. 立，构造m(x)?ln(1?x)xx(1?x)ln2(1?x)x2下证ln(1?x)?,x??0,1?，再构造函数

1+x2222(1?x)ln1?x?x?2x??x2h'x=,x?(0,1?，设h?x?=ln?1+x??,x?(0,1???21+x(1?x)F?x?=2(1?x)ln?1?x??x2?2xF'?x??2ln?1?x??2x,x?(0,1?，令

G?x??2ln(1?x)?2x,x?(0,1?，G'?x???2x,x?(0,1?，在x?(0,1?时，1?xG'?x??0，G?x?单调递减，G?x??0即F'?x??0，所以F?x?递减，F?x??0，

x2即h'?x??0，所以h?x?递减，并且h?0?=0，所以有ln?1?x??,x?(0,1?，所

1+x2以m'(x)?0，所以m(x)在x??0,1?上递减，所以最小值为

m(1)?111?1。 ?1.∴a??1，即a的最大值为ln2ln2ln2故选：B。 【点睛】

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本题考查不等式恒成立问题，解题时首先要对不等式进行变形，目的是分离参数，转化为研究函数的最值。本题中函数的最小值求导还不能确定，需多次求导，这考验学生的耐心与细心，考查学生的运算求解能力，难度很大。

二、填空题

vvvvvx??4,1,0a?x,1,1a?211．已知向量______； a?b?_______. ，则?，??，b?【答案】0 1

【解析】由向量模的坐标公式运算可求得x，再由向量数量积的坐标运算计算出数量积。【详解】

r222由题意a?x?1?1?2，解得x?0，

rra?b?0?4?1?1?1?0?1。

故答案为：0；1。 【点睛】

本题考查空间向量模的坐标运算，考查数量积的坐标运算，属于基础题。 12．复数z?1?2i，则z?_______；

z?_______. 1?i【答案】5

10 2【解析】由复数模的定义计算z的模，求出【详解】

z后再求其模。 1?i复数z?1?2i，则z?12?(?2)2?5，

1?2i(1?2i)(1?i)13i????，所以z?10。 1?i(1?i)(1?i)221?i2故答案为：5；【点睛】

10。 2本题考查求复数的模，可根据模的定义计算，对复杂一点的复数的模还可根据模的性质计算，如

zz510???。 1?i1?i2211111111???L?????L?，第2342n?12nn?1n?22n第 7 页 共 18 页

13．用数学归纳法证明：1?一步应验证的等式是__________；从“n?k”到“n?k?1”左边需增加的等式是_________.

1111? 【答案】1?? 2k?1?12k?1????22【解析】由数学归纳法的要求确定结论。 【详解】

当n?1时，应当验证的第一个式子是1?11?，从“n?k”到“n?k?1”左边需增加2211? 的式子是

2?k?1??12?k?1?【点睛】

本题考查数学归纳法，属于基础题，一定要注意数学归纳法中，归纳假设后从“n?k”到“n?k?1”时所证命题是什么，如两者比较增加了什么，不能弄错。

43214．已知函数f?x??x?ax?2x?b，其中a，b?R，若函数f?x?仅在x?0处

有极值，则实数a的取值范围是_______；若a?4，则函数f?x?的所有极值点之和为_______.

【答案】??,? ?3

33322【解析】求出导函数f?(x)?4x?3ax?4x?x(4x?3ax?4)，f?x?仅在x?0处

?88???有极值，则4x2?3ax?4?0恒成立，由此可得a的范围；a?4时可求得f(x)的所有极值点，然后求和。 【详解】

f'(x)?4x3?3ax2?4x?x(4x2?3ax?4)，如果f?x?仅在x?0处有极值，那么

?88?y?4x2?3ax?4的?=(3a)2?64?0,∴a???,?.

?33?322当a?4时，f'(x)?4x?12x?4x?4x(x?3x?1)，三个极值点为

x1?0,x2??3?5?3?5,x3?，所以极值点的和为?3。

228833故答案为：[?,]；?3. 【点睛】

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本题考查函数的导数与极值问题，要注意对导数存在的函数，函数的极值点不仅要导数值为0，还要在此点两侧导数值符号相反，否则不是极值点．

215．已知F为抛物线C：y?64x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点，

FA?_______. 设FA?FB，则FB【答案】3?22 【解析】直接写出直线方程，与抛物线方程联立方程组解得交点的横坐标，再由焦半径公式得出FA,FB，求比值即得。 【详解】 联立??y?x?16，可得x2?96x?162?0， 2?y?64xFA48?322?162+296?642??=3+22， 解得x?=48?322，所以FB48?322?162-22故答案为：3?22。 【点睛】

本题考查直线与抛物线相交问题，考查焦半径公式。解题方法是直接法，即解方程组得交点坐标。 16．函数f(x)?【答案】2

【解析】根据图像与函数的单调性分析即可. 【详解】

x?2?lnx?2的零点个数为__________.

f(x)?x?2?lnx?2的零点个数即x?2?lnx?2的根的个数,即y?x?2与y?lnx?2的交点个数.

又当x?0时y?上方.

当x?1时, y?x?2?2,y?lnx?2???,此时y?x?2在y?lnx?2x?2?3,y?ln1?2?2,此时y?x?2在y?lnx?2下方.

又对y?x?2求导有y'?11,对y?lnx?2求导有y'?,

2x?2x第 9 页 共 18 页

故随x的增大必有

11?,即y?x?2的斜率大于y?lnx?2的斜率. x2x?2x?2与y?lnx?2还会有一个交点.

故在x?1时, y?分别作出图像可知有两个交点.

故答案为：2 【点睛】

本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意分析函数斜率的变化规律与图像性质.属于中档题.

22222217．已知椭圆C1：mx?y?1?0?m?1?与双曲线C2：nx?y?1?n?0?的焦

点重合，e1与e2分别为C1、C2的离心率，则e1?e2的取值范围是__________. 【答案】?1,???

【解析】由两曲线焦点重合，得出m,n的关系，再求出(e1e2)?(1?m)(1?n)，由

222刚才求得的关系式消元后得(ee)212m??2?1??m2?1?1?2m2，令t?1?2m2，换元后利用函

数的单调性可得范围．其中要注意变量的取值范围，否则会出错． 【详解】

222222因为椭圆C1：mx?y?1?0?m?1?与双曲线C2：nx?y?1?n?0?的标准方

x2x2211?y?1?y2?1程分别为：1和1，它们的焦点重合，则2?1?2?1,所以

mn22mn11112-?2∴?20?m?，，，另一方面

m2n2m22(e1e2)22m??(1?m)(1?n)?222?1??m2?1?1?2m2，令1-2m2?t，则0?t?1，

t2?2t?1112(e1e2)??(t?2?),t?(0,1)，于是(e1e2)?1，所以e1e2?1

4t4t第 10 页 共 18 页

故答案为：?1,??? 【点睛】

本题考查椭圆与双曲线的离心率问题，利用焦点相同建立两曲线离心率e1,e2的关系，再由函数的性质求得取值范围．为了研究函数的方便，可用换元法简化函数．

三、解答题 18．已知f(x)?13x?ax?4,a?R. 3（1）若a??4，求函数f(x)的单调递增区间；

（2）若a??9，且函数f(x)在区间[0,3]上单调递减，求a的值. 【答案】（1）单调递增区间为(??,?2),(2,??)（2）a??9 【解析】(1)求导分析函数单调性即可.

(2)由题可知f'(x)?0在区间[0,3]上恒成立可得a??x2,即可得a??9再结合a??9即可. 【详解】

解：（1）由a??4,f?(x)?x2?4?0,

得函数f(x)的单调递增区间为(??,?2),(2,??).

?2（2）若函数f(x)在区间[0,3]上单调递减,则f(x)?x?a?0,

则a??x2,因为x?[0,3],所以a??9, 又a??9,所以a??9. 【点睛】

本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间问题,同时也考查了利用函数的单调区间求解参数范围的问题,需要利用恒成立问题求最值,属于基础题. 19．如图，FA?平面ABC,?ABC?90，EC//FA,?FA?3,EC?1,AB?2，

AC?4,BD?AC交AC于点D.

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（1）证明：FD?BE；

（2）求直线BC与平面BEF所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）10 20【解析】(1)证明FD?DE与BD?FD进而证明FD?平面BDE即可.

(2)建立空间直角坐标系, 求解BC以及平面BEF的法向量,再求解线BC与平面BEF所成角 【详解】

（1）证明1：在VABC中,?ABC?90?,AB?2,因为BD?AC交AC于点D,所以AD?1,因为FA?平面ABC,EC//FA,uuurAC?4,BC?23. CD?3. AC?4,

EC?1,所以VFAD~VDCE,所以FD?DE. 又因为BD?AC,FA?平面ABC,所以BD?平面FDE,BD?FD

所以FD?平面BDE,所以FD?BE.

证明2：如图,以D为原点,分别以DB,DC为x,y轴,建立空间直角坐标系.

在VABC中,?ABC?90?,AB?2,AC?4,BC?23.因为BD?AC交AC于点

D,所以AD?1,CD?3,所以

D(0,0,0),A(0,?1,0),C(0,3,0),F(0,?1,3),E(0,3,1),B(3,0,0)

uuuruuurDF?(0,?1,3),BE?(?3,3,1)

所以DF?BE?0,所以DF?BE

uuuruuuruuuruuuruuur（2）解：由（1）可知,BC?(?3,3,0),BE?(?3,3,1),BF?(?3,?1,3).

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r设平面BEF的法向量为n?(x,y,z),

uuuvr?BE?n?0,???3x?3y?z?0,vr 所以?uuu即??BF?n?0,???3x?y?3z?0.3636r令x?3,则y?,z?,所以n?(3,,).

5555uuurr|BC?n|10rr?. 设直线BC与平面BEF所成角为?,则sin??uuu|BC|?|n|20

【点睛】

本题主要考查了线面垂直线线垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解线面角的问题.属于中档题.

20．已知等比数列?an?，?bn?的公比分别为p，q?p?q?． （1）若a1?b1?1，p?2q?4，求数列??an??的前n项和Sn； ?bn?（2）若数列?cn?，满足cn?an?bn，求证：数列?cn?不是等比数列．

n【答案】（1）Sn?2?1；（2）证明见解析.

【解析】（1）分别求出an,bn，再得公式可得；

an?2n?1，仍然是等比数列，由等比数列前n项和bnn?1n?12（2）由已知cn?p?q，假设{cn}是等比数列，则cn?cn?1cn?1，代入cn求得p?q，

与已知矛盾，假设错误． 【详解】 （1）an?4n?1，bn?2n?1an?2n?1， ，bn第 13 页 共 18 页

n则Sn?2?1；

证明：（2）假设数列?cn?是等比数列，可得cn?cn?1cn?1，设数列?an?,?bn?的公比为

2p,q，

可得?an?bn???an?1?bn?1??an?1?bn?1?， 因此有?an?bn???anp?bnq??22?anbn???， ?pq??pq???， qp??即an?bn?2anbn?an?bn?anbn?2222因此有2?pq?,?p?q， qp与已知条件中p,q不相等矛盾，

因此假设不成立，故数列?cn?不是等比数列． 【点睛】

本题考查等比数列的通项公式，前n项和公式，考查否定性命题的证明．证明否定性命题可用反证法，假设结论的反面成立，结合已知推理出矛盾的结论，说明假设错误．也

2可直接证明c2?c1c2，即能说明{cn}不是等比数列．

x2y221．如图所示，已知F是椭圆C：2?2?1?a?b?0?的右焦点，直线AB：

abx-2y+2=0与椭圆C相切于点A．

（1）若a?2，求b；

uuuvuuuvuuuvuuuv（2）若FA?FB，FA?FB?0，求椭圆C的标准方程．

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5x25y22【答案】（1）b?；（2）??1 .

832【解析】（1）把直线方程与椭圆方程联立，消去y得x的一元二次方程，直线与椭圆相切，则??0，结合a?2可求得b；

a2a222（2）利用（1）中结论?b?1可求得A点坐标(?,b)，作AC?x轴于点

42C,BD?x轴于点D,由AF?BF,?AFB?900,则有?ACF??FDB，因此

由B在直线x-2y+2=0AC?FD,CF?BD,这样可由A,F点坐标表示出B点坐标，

a25a23?c 上可得，这样结合?b2?1，?a2?b2?c2可解得a,b,c得椭圆标准方程．

482【详解】

?2a2?22222（1）由直线与椭圆方程联立得?b??x?ax?a?ab?0，①，

4??a2因直线与椭圆相切，则??0，因此可得?b2?1；

4若a?2，则b?2 ； 2a2a4222（2）将?b?1代入方程①式可得x?ax??0，

44?a22?a2a22因此xA??，yA?1??b，因此点A??,b?，

42?2?作AC?x轴于点C,BD?x轴于点D,∵AF?BF,?AFB?900,

则有?ACF??FDB，因此AC?FD,CF?BD,

a2a2∴FD?1?，BD??c，

24第 15 页 共 18 页

??a2a21,?c?，∵B在直线y?x?1上， ∴B?c?1?422??a21a25a23?c因此； ?c?(c?1?)?1，化简得?22482a25a22又由?b?1??c2，

444?4c23?c则可得，即有c2?c?2?0，∵c?0， ?82∴c?1，

835x25y22则a?，b?，因此所求的椭圆方程为??1 .

55832【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程．考查直线与椭圆位置关系．直线与椭圆相切，只能由直线方程与椭圆方程联立，消元后得二次方程，则有结论??0．第（2）小题有一定的难度，关键是还要一个a,b,c的关系式，题中解法是通过几何方法，由A,F点坐标表示出B点坐标，B僄代入直线方程得到关系式．另一种方法是FA?FB，然后取AB中点为M，则有FM?AB（不需要再求线段长了），这样两个垂直也可以建立起a,b,c的关系式．

22．已知函数f(x)?ln(1?),（1）证明：f()?x； （2）若小值.

【答案】（1）证明见解析（2）lnaxf(1)?ln2.

1x1[f(2)?f(22)???f(2n)]?m对任意的n?N*均成立，求实数m的最n?11315 8【解析】(1)由f(1)?ln2可得f(x)?ln(1?),x?(??,?1)?(0,??)再构造函数

1xF(x)?ln(1?x)?x,分析函数单调性求最值证明即可.

T1[f(2)?f(22)?L?f(2n)]?n,再根据n?1n?1115g(n?1)?g(n)的正负分析函数g(n)的单调性可知g(2)?ln为最大值,进而求得

38实数m的最小值即可.

(2)根据题意构造函数g(n)?【详解】

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（1）证明：由f(1)?ln2,得a?1,

1f(x)?ln(1?),x?(??,?1)?(0,??).

x1?x??1?, 设F(x)?ln(1?x)?x,F(x)?1?x1?x所以,函数F(x)在(?1,0)上单调递增,在(0,??)单调递减,所以,F(x)?F(0)?0. 又因为f()?x?ln(1?x)?x（其中x?(?1,0)?(0,??)）, 所以,f()?x?0,所以,f()?x成立. （2）解：设

1x1x1x111Tn?ln(1?)?ln(1?2)???ln(1?n),

222T1g(n)?[f(2)?f(22)?L?f(2n)]?n.

n?1n?1111313g(1)?ln(1?)?ln?ln(3?),

222268111115133g(2)?[ln(1?)?ln(1?2)]?ln?ln(3?),

32238664所以,g?2??g?1?. 下面证明当n?2,n?N*时,g(n?1)?g(n)成立.

g(n?1)?g(n)?T11[Tn?ln(1?n?1)]?n n?22n?1?(n?1)[Tn?ln(1?11)]?(n?2)T(n?1)ln(1?)?Tnnn?1n?1 22?(n?2)(n?1)(n?2)(n?1)[2ln(1??,

111111)?ln(1?)]?[ln(1?)?ln(1?)]?L?[ln(1?)?ln(1?)]2n?122n?1222n?12n(n?2)(n?1)111111?1????1?ln(1?)?ln(1?)?L?ln(1?), ,所以2n?12n222n?12n221111所以?ln(1?n?1)?ln(1?2)?0,L,ln(1?n?1)?ln(1?n)?0.

2222因为0?1?1211?2n?1(2?2n)又因为当n?2时,(1?n?1)?(1?)??0, 2n?2222所以2ln(1?11)?ln(1?)?0,所以g(n?1)?g(n)?0, 2n?12所以,当n?2时,g(n?1)?g(n).

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故,g(1)?g(2)?g(3)?g(4)??.所以,g(n)的最大值为g(2)?所以,m的最小值为ln【点睛】

115ln, 381315. 8本题主要考查了利用导数证明函数不等式的问题,同时也考查了数列中求最大值项的方法.需要构造数列求解g(n?1)?g(n)的正负判断,属于难题.

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