定义与命题

定义与命题

1定义:对某些名称或术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是对名称和术语下定义． 谈重点

下定义的注意事项

①在定义中，必须揭示出事物与其他事物的本质属性的区别．②定义的双重性：定义本身既可以当性质用，又可以当判定用．③语句必须通顺、严格、准确，一般不能用“大约”“大 概”“差不多”“左右”等含糊不清的词语．要有利于人们对被定义的事物或名词与其他事物或名词区别． 【例1】

下列语句，属于定义的是( )

．A．两点之间线段最短B．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

C．三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半D．三人行则必有我师焉 解析：

判断是不是定义，关键看是否对名称或术语的含义加以描述，而且作出了规定．很明显， A，C，D没有对名称或术语作出描述，故应选B. 答案：B

点技巧: 分清定义与命题,注意定义与命题的区分，作出判断的是命题，对名称或术语作出描述的是定义．

2．命题(1)定义：判断一件事情的句子，叫做命题．(2)命题的组成结构： ①每个命题都是由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果??那么??”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论． ②有些命题没有写成“如果??那么??”的形式，条件和结论不明显．对于这样的命题，要经过分析才能找到条件和结论，也可以将它们改写成“如果??那么??”的形式．命题的条件部分，有时也可用“已知??”或“若??”等形式表述．命题的结论部分，有时也可用“求证??”或“则??”等形式表述．

谈重点:改写命题,命题的改写不能是简单地加上 “如果”“那么”，而应当使改写的命题和原来的命题内容不变，且语句通顺完整，命题的条件、结论要清楚可见．有些命题条件和结论不一定只有一个，要注意区分．【例2】指出下列命题的条件和结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②若ab＝1，则a与b互为倒数；③同角的余角相等；④矩形的四个角都是直角．分析：命题的条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果??，那么??”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论． 解：①条件：两条直线都和第三条直线平行，结论：这两条直线互相平行． ②条件：ab＝1，结论：a与b互为倒数． ③条件：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等．

④条件：一个四边形是矩形，结论：这个四边形的四个角都是直角． 点技巧

分清条件和结论

“若??则??”形式的命题中“若”后面是条件，“则”后面是结论． ．

公理、定理、证明 (1)公理

公认的真命题称为公理．

② 理是不需推理论证的真命题．

②公理可以作为推理,论证定理及其他命题真假的依据．

常用的几个公 理：

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． ②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． ③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． ④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． ⑤三边对应相等的两个三角形全等．

⑥全等三角形的对应边相等、对应角相等．

其他公理：等式和不等式的有关性质，等量代换都可以看作公理． (2)

定理

有些命题的正确性是通过推理的方法证实的，这样的真命题叫做定理． ①定理是经过推理论证的真命题，但真命题不一定都是定理． ②定理可以作为推理论证其他命题的依据． (3) 证明

推理的过程叫证明．推理必须做到步步有据，条条有理． 【例3】

下列说法正确的是( ) ．A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C定理不一定都要证明

D．证明只能根据定义、公理进行 解析：

真命题并不都是定理，故选项A不正确；定理必须经过证明，故选项C不正确；

证明可以根据定义、公理、定理进行，故选项D不正确；公理是公认的真命题，不需要证 明，故选B. 答案：B 点评：掌握公理、定理、命题之间的区别，明确其含义，是解决本题的关键． 4 ．

命题及真假命题的判断 (1)

命题的判断

判断一个句子是否为命题，要根据命题的定义．

①命题的特征：

一是必须为一个完整的句子；

二是必须对某件事情做出肯定或否定的判 断，

即具有明确的判断性．

如果一个句子对某一件事情没有作出任何判断， 那么它就不是命 题．

②命题并不是数学所独有，凡是判断某一件事情的正确或错误的语句都是命题．

③命题是陈述语句， 其他形式的句子， 如： 疑问句、 感叹句、

祈使句等都不是命题． 如：

“你爱好什么运动？”没有作出判断，这不是命题．

注意：

错误的判断也是命题，不能以正确与否来判断是否为命题． (2)

真假命题的判断

命题是一个判断， 这个判断可能正确， 也可能错误．

因此可以将命题分为真命题和假命 题．

①正确的命题称为真命题．

②不正确的命题称为假命题．

③真命题、假命题的判断与比较：

要说明一个命题是假命题， 通常可以举出一个例子， 使之具有命题的条件， 而不具有命

题的结论，这种例子称为反例；要说明一个命题是真命题需根据公理和定理证明．

谈重点

判断真假命题的方法

①

如果题设成立，结论也一定成立， 那么这样的命题为真命题； ②

如果题设成立， 但结

论不成立，这样的命题为假命题． 【例 4 － 1 】

下列句子中是命题的有 __________(

填序号 )

．①直角三角形中的两个锐角 互余．②正数都小于 0.

③如果∠ 1 ＋∠ 2

＝ 180° ，那么∠ 1 与∠ 2

互补．④太阳不是行星．⑤

对顶角相等吗？⑥作一个角等于已知角．

解析：

判断是否为命题，

要根据命题的特征：一是必须为一个完整的句子； 二是必须对

某件事情做出肯定或否定的判断．所以 ①②③ 是命题，

它们都对事情作出了肯定回答； ④

是命题，它对事情作出了否定回