xy??4＋2＝1，由?得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0， ??y＝kx＋1，4k2
显然，Δ>0，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝－2，
2k＋12k＋11
|QP||QA|sin∠PQA
S△APQ2|QA|sin∠PQA
＝＝， S△BPQ1|QB|sin∠PQB
|QP||QB|sin∠PQB2∵
|QA|S△APQ
＝，∴sin∠PQA＝sin∠PQB， |QB|S△BPQ
22
y1－my2－m
∴∠PQA＝∠PQB，∴kQA＝－kQB，∴＝，
x1－x2∴(m－1)(x1＋x2)＝2kx1x2，
4k2
即－(m－1)·2＝－2k·2，解得m＝2，
2k＋12k＋1|QA|S△APQ
∴存在定点Q(0,2)，使得＝恒成立．
|QB|S△BPQ2．在平面直角坐标系xOy中．
①已知点Q(3，0)，直线l：x＝23，动点P满足到点Q的距离与到直线l的距离之比为
2. 2
②已知点H(－3，0)，G是圆E：x2＋y2－23x－21＝0上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于P. 6→3→→
③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|＝3，动点P满足OP＝OS＋OT.
33
(1)在①②③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
(2)设圆O：x2＋y2＝2上任意一点A处的切线交轨迹C于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 解 (1)若选①， 设P(x，y)，根据题意得，x2y2
整理，得＋＝1，
63
x2y2
所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.
63若选②，
由E：x2＋y2－23x－21＝0得(x－3)2＋y2＝24， 由题意得|PH|＝|PG|，
?x－3?2＋y2|x－23|
＝2， 2
所以|PH|＋|PE|＝|PG|＋|PE|＝|EG|＝26 >|HE|＝23，
所以点P的轨迹C是以H，E为焦点的椭圆， 且a＝6，c＝3，则b＝3， x2y2
所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.
63若选③，
设P(x，y)，S(x′，0)，T(0，y′)，则x′2＋y′2＝9，(*) 6→3→→
因为OP＝OS＋OT，
33
?所以?
3y＝?3y′，
x＝
6
x′，3
6??x′＝2x，
即???y′＝3y，
x2y2
将其代入(*)，得＋＝1，
63
x2y2
所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.
63
(2)当过点A且与圆O相切的切线斜率不存在时，切线方程为x＝2，x＝－2， 当切线方程为x＝2时，M(2，2)，N(2，－2)， 以MN为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝2.①
当切线方程为x＝－2时，M(－2，2)，N(－2，－2)， 以MN为直径的圆的方程为(x＋2)2＋y2＝2.② 由①②联立，可解得交点为(0,0)．
当过点A且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋m，即
＝2，即m2＝2(k2＋1)． k2＋1|m|
??y＝kx＋m，
联立切线与椭圆C的方程?x2y2并消去y，得
??6＋3＝1，
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
因为Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)＝－8(m2－6k2－3)＝－8(2k2＋2－6k2－3)＝8(4k2＋1)>0， 所以切线与椭圆C恒有两个交点． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
2m2－64km
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
1＋2k21＋2k2→→
因为OM＝(x1，y1)，ON＝(x2，y2)，
2m2－6－4km→→
所以OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)·＋km·＋m2 22
1＋2k1＋2k3m2－6－6k23×2?k2＋1?－6－6k2
＝＝＝0.
1＋2k21＋2k2所以OM⊥ON，
所以以MN为直径的圆过原点(0,0)， 综上所述，以MN为直径的圆过定点(0,0)．
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