小题精练：平面向量(限时：60分钟)
π
1．已知非零向量a，b满足向量a＋b与向量a－b的夹角为，那么下列结论中一定成立的
2
是( )
A．|a|＝|b| B．a＝b C．a⊥b
D．a∥b
2．(2014·泰安模拟)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，若a⊥(2a－b)，则k等于( )
A．6
B．－6 C．12
D．－12
3．(2014·泉州模拟)定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若
|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( ) A．－8
B．8 C．－8或8
D．6
→→
4．(2013·高考福建卷)在四边形ABCD中，AC＝(1，2)，BD＝(－4，2)，则该四边形的面积
为( ) A.5
B．25 C．5
D．10
→→
5．(2014·郑州市质检)已知A(1，2)，B(3，4)，C(－2，2)，D(－3，5)，则向量AB在向量CD 上的投影为( ) A.
10 5
210310B. C.
55
D.410
5
6．已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则
为( ) 2
A. 3
25B．－ C.
36
5
D．－ 6
x1＋y1
的值 x2＋y2
7．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i＋2j，b＝－i＋λj，且a与b夹角为钝角，则
λ的取值范围是( )
1???1?A.?－∞，? B.?，＋∞? 2???2?
1?2??2???C．(－∞，－2)∪?－2，? D.?－2，?∪?，＋∞?
2?3??3???
π??π
8．(2014·济南市模拟)若函数f(x)＝2sin?x＋?(－2＜x＜10)的图象与x轴交于点A，
3??6
→→→
过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则 (OB＋OC)·OA＝( ) A．－32 C．16
B．－16 D．32
→→→
9．(2014·大连市双基测试)设O在△ABC的内部，且有OA＋2OB＋3OC＝0，则△ABC的面积
和△AOC的面积之比为( ) A．3 C．2
5B. 33D. 2
10．已知点O(0，0)，A0(0，1)，An(6，7)，点A1，A2，?，An－1(n∈N，n≥2)是线段A0An的n →→→
等分点，则|OA0＋OA1＋?＋OAn－1＋OAn|等于( ) A．5n C．5(n＋1)
B．10n D．10(n＋1)
11．(2013·高考陕西卷)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|”是“a//b”的( )
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3→→→
，若AP＝λAB＋μAD(λ， 2
12．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3，P为矩形内一点，且AP＝
μ∈R)，则λ＋3μ的最大值为( ) 3
A. 2
B.6 26＋32
4
3＋3C.
4
D.
→→→1→→
13．(2014·福州模拟)在△ABC中，已知D是边AB上的一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，
3
则λ＝________.
14．向量a＝(cos 10°，sin 10°)，b＝(cos 70°，sin 70°)，则|a－2b|＝________． 15．(2014·湖南省五市十校联考)在△ABC中，AB＝10，AC＝6，O为BC的垂直平分线上一
→→
点，则AO·BC＝________．
16．(2014·合肥市质量检测)下列命题中真命题的编号是________．(填上所有正确的编号)
①向量a与向量b共线，则存在实数λ使a＝λb(λ∈R)； π
②a，b为单位向量，其夹角为θ，若|a－b|＞1，则＜θ≤π；
3
→→→→→→
③A，B，C，D是空间不共面的四点，若AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD一定是锐角三角形；
→→→→→→→→
④向量AB，AC，BC满足|AB|＝|AC|＋|BC|，则AC与BC同向； ⑤若向量a∥b，b∥c，则a∥c.
小题精练(十)
1．解析：选A.由题意知(a＋b)·(a－b)＝0， 即|a|－|b|＝0，∴|a|＝|b|.
2．解析：选C.因为a⊥(2a－b)，所以a·(2a－b)＝0，即2|a|－a·b＝0，所以2(5)－(－2＋k)＝0，解得k＝12，选C.
2
2
2
2
a·b－63443．解析：选B.∵cos θ＝＝＝－，∴sin θ＝，∴|a×b|＝2×5×＝8.
|a||b|2×5555
4．解析：选C.先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直，再求面积．
1→1→→→→→
∵AC·BD＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，∴AC⊥BD，∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝×225×25＝5.
→→→→→
5．解析：选B.依题意得AB＝(2，2)，CD＝(－1，3)，|CD|＝10，AB·CD＝－2＋6＝4，4210→→
向量AB在向量CD上的投影等于＝.
510
6．解析：选B.由已知得，向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，即3(x1，22x1＋y12
y1)＋2(x2，y2)＝(0，0)，得x1＝－x2，y1＝－y2，故＝－.
33x2＋y237．解析：选C.由题意知a＝(1，2)，b＝(－1，λ)，
a·b＜0?－1＋2λ＜0?λ＜.当a与b的夹角为π时，λ＋2＝0即λ＝－2.综上知，λ的取值范围是(－∞，－2)∪?－2，?. 2
12
??
1??
8．解析：选D.由题意知，点A(4，0)，根据三角函数的图象，点B、C关于点A对称，→→→
设B(x1，y1)，则C(8－x1，－y1)．故(OB＋OC)·OA＝8×4＝32.
→→→→
9．解析：选A.设AC、BC的中点分别为M、N，则已知条件可化为(OA＋OC)＋2(OB＋OC)→→→→
＝0，即OM＋2ON＝0，所以OM＝－2ON，说明M、O、N共线，即O为中位线MN上的三等分点．
2211OM＝MN＝×AB＝AB
3323OM1∴＝ AB3S△ABCAB∴＝＝3. S△AOCOM
→→→
10．解析：选C.取n＝2，则OA0＋OA1＋OA2＝(0，1)＋(3，4)＋(6，7)＝(9，12)，所以
→→→22
|OA0＋OA1＋OA2|＝9＋12＝15，把n＝2代入选项中，只有5(n＋1)＝15，故排除A、B、D，选C.
11．解析：选C.先讨论平面向量共线的条件，再结合充要条件的概念求解． 若|a·b|＝|a||b|，
若a，b中有零向量，显然a∥b； 若a，b均不为零向量，则
|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|， ∴|cos〈a，b〉|＝1， ∴〈a，b〉＝π或0，
∴a∥b，即|a·b|＝|a||b|?a∥b. 若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，
∴|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|， 其中，若a，b有零向量也成立， 即a∥b?|a·b|＝|a||b|.
综上知，“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．
?3?2→→→→2→→22→12．解析：选B.因为AP＝λAB＋μAD，所以|AP|＝|λAB＋μAD|，所以??＝λ|AB?2?
33→→22→222
|＋μ|AD|＋2λμ·AB·AD，因为AB＝1，AD＝3，AB⊥AD，所以＝λ＋3μ.又＝443333222
λ＋3μ≥23λμ，所以(λ＋3μ)＝＋23λμ≤＋＝，所以λ＋3μ的最
4442大值为
662
，当且仅当λ＝，μ＝时取等号． 244
→→→2→→→→→2→→2→＝13．解析：因为AD＝2DB，所以AD＝AB，又CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋→CB－CA333
()
1→2→2CA＋CB，所以λ＝. 3332答案： 3
14．解析：∵a－2b＝(cos 10°－2cos 70°， sin 10°－2sin 70°)， ∴|a－2b|＝
（cos 10°－2cos 70°）＋（sin 10°－2sin 70°） ＝5－4cos 60°＝3. 答案：3
2
2
→→→→→→→→→→→
15．解析：取BC边的中点D，连接AD，则AO·BC＝(AD＋DO)·BC＝AD·BC＋DO·BC＝AD·BC1→→1→2→212→→2
＝(AB＋AC)·(AC－AB)＝(AC－AB)＝(6－10)＝－32. 222答案：－32
16．解析：①不是真命题，当b＝0时，命题不成立；对于②，|a－b|＝a－2a·b＋b221
＝1－2cos θ＋1＞1，解得cos θ＜，因为向量夹角范围是[0，π]，所以
2
?π?22222
θ∈?，π?；对于③，易知，BD＞AB，CD＞AC，所以BD＋CD＞AB＋AC＝BC，所以
?3?
∠BDC是锐角，同理可证其余两边所对的角都是锐角，所以△BCD一定是锐角三角形；④不对，当C点位于线段AB上时，满足题设条件，但是两向量是反向的；⑤不对，当b＝0时，命题就不成立． 答案：②③
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