西南交通大学概率论与数理统计A期末考试2016-2017(2)- 答案

西南交通大学2016 －2017学年第( 2 )学期期末考试试卷

课程代码1271032课程名称 概率论与数理统计A（A卷） 考试时间 120分钟

密封装订线 题号 得分

一 二 三 四 五 六 七 八 总成绩 名 姓 线 订 装 封 密号 学 线 订 装 封级密 班阅卷教师签字：

一、（15分）设随机变量X与Y的分布律分别为

X -1 0 1 Y 0 1 p11k 4 112 4 pk 2 12

已知：P{XY=0}=1，试求：（1）M=min{X,Y}的分布律；（2）Z=X+Y的分布律；（3）Cov(X,Y)

解:由P{XY=0}=1得， X Y 0 1 -1 1/4 0 0 0 1/2 1 1/4 0 (1) M -1 0 p1 k 4 34 (2) Z -1 1 p1k

4 34 (3)E(X)=-1?141?1140, E(Y)=2，E(XY)=0，则 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0

二、（15）设随机变量X与Y相互独立，P?X?0??0.6，P?X?1??0.4，而Y的密度函数为

f?y????1, 0? y?1Y，记Z=X+Y。 ?0, 其它试求：（1）P?Z?0.5|X?0?；（2）Z的概率密度函数；（3）D(Z)

解：(1)

P?Z?0.5|X?0??P{Z?0.5，X?0}P{X?Y?0.5，X?0}P{Y?0.5}P{X?0}???0.5

P{X?0}P{X?0}P{X?0}(2) FZ?z??P?X?0??P?X?Y?z|X?0??P?X?1??P?X?Y?z|X?1?

?0.6FY?z??0.4FY?z?1?

z?0?0,?0?z?1?0.6z,?? ?0.4z?0.2,1?z?2?z?2?1,?0.6,??fZ?z???0.4,??0,（3）E(Z)=E(Z2)=10?z?11?z?2 其他2121蝌z?0.6dz01z?0.4dz9 1017 152蝌z?0.6dz0z2?0.4dz97 300则 D(Z)=E(Z2)-E2(X)=

三、（15）设总体X:N(0,s2)，X1,X2,...Xn是总体的一个样本(n>4)，X为其样本均值，求:（1）

禳镲X-E(X)镲P>0 （2）P{0X2}；镲ns镲铪解：（1）P{X1>X2}=0.5

（2）由题意X3:N(0,s2)，2X4:N(0,4s2)，则X3+2X4:N(0,5s2)，可得

骣5÷骣s÷??÷?÷P{00=P{X>0}=1-F(0)=0.5 镲ns镲镲镲铪四、（15）设二维随机变量(X,Y)的密度函数为

ì?xy?x2+, 01}

ì2骣?xy÷222??÷x+dy=2x+x, 0

ì?xy?x2+??3=3x+y, 01}=

骣2xy鼢鼢x+dxdy=珑鼢蝌珑珑鼢3桫dx蝌01骣2xyx+dy=1-x桫32?10骣x4253?65??+x+xdx==0.9028 ????23672桫五、（10分）某4S店每天售出的汽车数服从参数为2的泊松分布，若该店一年365天都在经营，

且每天售出的汽车数相互独立，求该店一年售出730辆以上汽车的概率。（用中心极限定理）。

解：设该店一年售出的汽车数为Y,第i天售出的汽车数为Xi，则Xi:p(2) 因此，E(Xi)=2,D(Xi)=2 (i=1,2,...,365)，可得，

近似Y~N(365创2，3652)

骣730-365?2÷÷所以，P{Y>730}=1-F??÷=1-0.5=0.5 ??桫365′2÷

六、（10）设总体X具有分布律

X 1 2 3 q2 2q(1-q) (1-q) 2pk 其中q(0

1解：（1）由E(X)=X=n?nXi，则，

i=1E(X)=q2+2?2q(1q)+3(1-q)=3-2q

2而，

x=171+2+1+3)= (44由3-2q=7，则q的矩估计值为， 4?=5 q82）①q的似然函数为

L(q)=p(xi;q)=q2?轾2q1?犏臌(i=14q)创q2(1-q)2=2q5(1-q)3

②取对数为

lnL(q)=ln2+5lnq+3ln(1-q)

③求导

?lnL(q)53=-=0

?qq1q④求解

?=5 q8

七、（10分）某超市为了调整某特殊商品的销售额，对营业方式、管理人员进行了一系列调整。调整后随机抽查了9天的销售额（单位：万元），结果如下：

56.4 54.2 50.6 53.7 55.9 48.3 54.7 58.7 55.3

根据统计，调整前的日平均销售额为51.2万元，假定日销售额X服从正态分布，试问调整后的日平均销售额是否改变（a=0.05）？（已知t0.05(8)=1.8595，t0.025(8)=2.3060） 解：设调整后的日平均销售额为m

建立假设 H0:m=51.2; H1:m?51.2

检验统计量为 T=X-51.2~t(n-1 )S/n数据为：x=1(56.4+54.2+...+55.3)=54.2 9 n=9 s=1n-骣n22鼢珑鼢x-nx=珑邋鼢i鼢1珑桫i=11骣92xi-9?54.28桫i=13.112

2 a=0.0，5t0.025(8)=2.3060 则得，t=54.2-51.2=2.892

3.112/3即，t>ta/2(n-1)，所以，应该拒绝H0，而接受H1，即认为调整后的日平均销售额改变。

八、（10分）测得某种物质在不同温度x下吸附另一种物质的重量Y如下表所列：

xi/oC 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0 yi/mg 4.8 5.7 7.0 8.3 10.9 12.4 13.1 13.6 15.3 假设Y对x呈现线性关系，试求回归方程。 解：由题可知，

1930.31991.1x=?xi==3.3667，y=?yi==10.1222

9i=199i=19——2——19345.09192115.11=38.3433 x=?xi==12.79，xy=?xiyi=9i=199i=19lxx219=邋(xi-x)=9i=19i=1xi2-9x2=115.11-9?3.36672913.098

lxy=邋(xi=19i-x)(yi-y)=xiyi-9x?yi=1345.09-9创3.366710.1222=38.3843

再由最小二乘法得，

?=blxylxx=38.3843?=10.1222-2.9305?3.3667?=y-bx=2.9305，a13.0980.2561

?=0.2561+2.9305x 故所求一元线性回归方程为，y