联立
，化为：（4n2+m2）x2﹣4mx+4﹣8n2=0，
∴x1+x2=∵
?
，x1x2=
．
=，∴（x2﹣x1，y2﹣y1）?（2，0）=，
化为2（x2﹣x1）=，即x2﹣x1=， ∴
﹣4x1x2=
，
代入可得：﹣=，
化为：56n4+10n2m2﹣36n2﹣m4=0， 又
=1，
把m2=2﹣2n2代入化为8n4﹣﹣2n2﹣1=0， 联立解得m2=1，n2=． ∵点P在第二象限， ∴取m=﹣1，n=
．
18．如图，一个角形海湾AOB，∠AOB=2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l（l为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择： 方案一 如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中=l； 方案二 如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CD=l； （1）求方案一中养殖区的面积S1； （2）求证：方案二中养殖区的最大面积S2=
；
（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理
由．
【考点】扇形面积公式．
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【分析】（1）方案一：设此扇形所在的圆的半径为r，则l=r?2θ，可得r=．利用扇形面
积计算公式可得S1．
（2）设OC=x，OD=y，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：l2=x2+y2﹣2xycos2θ≥2xy﹣2xycos2θ，可得：xy≤
，即可得出．
（3）=，对当tanθ与lθ的大小关系分类讨论即可得出．
【解答】解：（1）方案一：设此扇形所在的圆的半径为r，则l=r?2θ，∴r=∴S1=
=
．
．
证明：（2）设OC=x，OD=y，
则l2=x2+y2﹣2xycos2θ≥2xy﹣2xycos2θ， 可得：xy≤
，当且仅当x=y时取等号．
∴养殖区的最大面积S2=
×sin2θ=；
解：（3）=，
当tanθ＞lθ时，选取方案一；
当tanθ=lθ时，选取方案一或二都可以； 当tanθ＜lθ时，选取方案二．
19．已知函数 f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，a∈R． （1）写出函数 f（x）的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数 f（x）的最大值；
（3）当a=1时，若函数 f（x）在区间（0，kπ）（k∈N*）上恰有2015个零点，求k的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值． 【分析】（1）由周期函数的定义．
（2）换元，由二次函数的性质得到最值．
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（3）由一个周期内的情况类比出2015个零点的情况． 【解答】解：（1）函数 f（x）的最小正周期为π． （2）∵f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，a∈R =a﹣sin2x﹣1=a﹣（sin2x+1）， 令t=，t∈[0，]， ∴y=at﹣t2=﹣（t﹣a）2+a2， ①a≤0时，在t=0处，ymax=0， ②0＜a＜③a≥
时，在t=a处，ymax=a2，
处，ymax=
a﹣2． ﹣sin2x﹣1，
时，在t=
（3）当a=1时，f（x）=
∵当且仅当sin2x=0时，f（x）=0，
∴x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点分别为∴2015=2×1007+1， ∴k=1008．
，π，
20．已知数列{an}满足：a1=a2=a3=k（常数 k＞0），an+1=
（n≥3，n∈N*）．数
列{bn}满足：bn=
（n∈N*）．
（1）求 b1，b2，b3，b4的值； （2）求出数列{bn}的通项公式；
（3）问：数列{an}的每一项能否均为整数？若能，求出k的所有可能值；若不能，请说明理由．
【考点】数列递推式．
【分析】（1）经过计算可知：a4=k+1，a5=k+2，a6=k+4+，由数列{bn}满足：bn=
（n=1，2，3，4…），从而可求求b1，b2，b3，b4；
（2）由条件可知：an+1an﹣2=k+anan﹣1．得an+2an﹣1=k+an+1an，两式相减整理得bn=bn﹣2，从而可求数列{bn}的通项公式；
（3）假设存在正数k，使得数列{an}的每一项均为整数则由（2）可知：
，由a1=k∈Z，a6=k+4+∈Z，可求得k=1，2．证明 k=1，2
时，满足题意，说明k为1，2时，数列{an}是整数列．
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【解答】解：（1）由已知可知：a4=k+1，a5=k+2，a6=k+4+． 把数列{an}的项代入bn=
，求得b1=b3=2，
；
（2）由an+1=
（n≥3，n∈N*），可知：an+1an﹣2=k+anan﹣1．…①
则：an+2an﹣1=k+an+1an．…② ①﹣②有：
，即：bn=bn﹣2
∴，．
∴；
（3）假设存在正数k，使得数列{an}的每一项均为整数， 则由（2）可知：
，…③
由a1=k∈Z，a6=k+4+∈Z，可知k=1，2． 当k=1时，
=3为整数，利用a1，a2，a3∈Z，结合③式，可知{an}的每一项均为整数；
当k=2时，③变为，…④
用数学归纳法证明a2n﹣1为偶数，a2n为整数．
n=1时，结论显然成立，假设n=k时结论成立，这时a2n﹣1为偶数，a2n为整数， 故a2n+1=2a2n﹣a2n﹣1为偶数，a2n+2为整数，∴n=k+1时，命题成立．
故数列{an}是整数列．
综上所述，k为1，2时，数列{an}是整数列．
【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评定。解答写出文字说明、证明或验算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]
21．如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC=，CD切半圆O于点D，DE⊥AB，垂足为E．若AE：EB=3：1，求DE的长．
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