18. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束. （1）求P(X?2)；
（2）求事件“X?4且甲获胜”的概率. 答案： （1）0.5；（2）0.06 解析：
（1）X?2时，有两种可能：
①甲连赢两局结束比赛，此时P1?0.5?0.4?0.2； ②乙连赢两局结束比赛，此时P2?0.5?0.6?0.3， ∴P(X?2)?P1?P2?0.5；
（2）X?4且甲获胜，即只有第二局乙获胜，其他都是甲获胜， 此时P?0.5?0.6?0.5?0.4?0.06.
19. 已知数列?an?和?bn?满足a1?1，b1?0，4an?1?3an?bn?4，4bn?1?3bn?an?4. （1）证明： ?an?bn?是等比数列，?an?bn?是等差数列； （2）求?an?和?bn?的通项公式. 答案：
（1）见解析 （2）an?()n?n?解析：
(1)将4an?1?3an?bn?4，4bn?1?3bn?an?4相加可得4an?1?4bn?1?3an?3bn?an?bn， 整理可得an?1?bn?1?数列.
12111，bn?()n?n?. 22211(an?bn)，又a1?b1?1，故?an?bn?是首项为1，公比为的等比224bn?1?3bn?an?4作差可得4an?1?4bn?1?3an?3bn?an?bn?8，将4an?1?3an?bn?4，
整理可得an?1?bn?1?an?bn?2，又a1?b1?1，故?an?bn?是首项为1，公差为2的等差数列.
（2）由?an?bn?是首项为1，公比为
11的等比数列可得an?bn?()n?1①； 22由?an?bn?是首项为1，公差为2的等差数列可得an?bn?2n?1②；
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①②相加化简得an?()n?n?20. 已知函数f(x)?lnx?12111，①②相减化简得bn?()n?n?。 222x?1 x?1(1) 讨论函数f(x)的单调性，并证明函数f(x)有且只有两个零点；
xy?ef(x)y?lnx(2) 设x0是的一个零点，证明曲线在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线的
切线。
答案： 略 解答：
（1）函数的定义域为(0,1)(1,??)，又f?(x)?1x?1?(x?1)12????0，所以22x(x?1)x(x?1)3?e22?0,f(e?1)??0，函数在(0,1),(1,??)上单调递增，又f(e)?2所以在区间(0,1)e?1e?1?2e2?3?0，所以在区间(1,??)上也存在一个存在一个零点，且f(2)?ln2?3?0,f(e)?2e?12零点，所以函数有且只有2个零点；
（2）因为x0是函数的一个零点，所以有lnx0?x0?12?1?。曲线y?lnx在x0?1x0?1A(x0,lnx0)处的切线方程为y?112xx?lnx0?1?x?，曲线曲线y?e当切线斜率x0x0x0?1为
1111?(x?lnx0)，化简为时，切点坐标为(?lnx0,)，切线方程为y?x0x0x0x0y?lnx0?111x??x?x0x0x0x1?2?1x0?112，所以曲线y?lnx在A(x0,lnx0)?x?x0x0x0?1处的切线也是曲线y?e的切线。
21. 已知点A(?2,0),B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM和BM的斜率之积为?轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE?x轴，垂足为E，连结QE
1，记M的2
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并延长交C于点G.
①证明：?PQG是直角三角形； ②求?PQG的面积的最大值. 答案： 见解析 解答：
yy1x2y2???，化简得： ??1(x??2)，表示焦点在x轴上的椭(1)由题意得：
42x?2x?22圆（不含与x轴的交点）.
(2) ①依题意设P(x1,y1),Q(?x1,?y1),G(x0,y0)，直线PQ的斜率为k(k?0) ，则
kPG?y1?y0?y?y0y1?y0,kGQ?1?，
x1?x0?x1?x0x1?x02y12?y01， ?2??2x1?x02∴kPG?kGQ又kGQ?kEQ??y1yk?1?，
?x1?x12x12∴kPG??1， k∴PG?PQ，即?PQG是直角三角形.
2?x??y?kx?122k?1??②直线PQ的方程为y?kx(x?0)，联立?x2y2 ，得? ，
2k?1?y???1?42?2k2?1?1111k2?1x1， 则直线PG:y??(x?x1)?y1??x?x1?kx1??x?kkkkk
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24x1(k2?1)2x12(k2?1)22x??4?0， 联立直线PG和椭圆C，可得(2?1)x?kk2k2则
4x1(k2?1)x1?x0?k2?2，∴
S?PQG11x1k2?4?y1(x?x1)?kx?02 22k?2(118(k?)8(k2?1)k8k(k2?1)k， ?2?4?221(k?2)(2k?1)2k?5k?22(k2?)?5k2令t?k?1，则t?2， k∴S?PQG?8t8t8??，
2(t2?2)?52t2?12t?1t9， 216. 9∵(2t?)min?1t∴(S?PQG)max?四、选做题（2选1）
22.选修4-4（极坐标与参数方程）
在极坐标系中，O为极点，点M(?0,?0)(?0?0)在曲线C:?=4sin?上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
时，求?0及l的极坐标方程；
3（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. （1）当?0?答案：
（1）?0?23，l的极坐标方程：?sin(????6)?2；
（2）P点轨迹的极坐标方程为?=4cos?(???解答： （1）当?0?????,?). ?42??3时，?0=4sin?0?4sin?3?23，
以O为原点，极轴为x轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有M(3,3)，A(4,0)，kOM?3，则直线l的斜率k??33(x?4)，化成极坐标方程为，由点斜式可得直线l：y??33
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??sin(??)?2；
6（2）∵l?OM∴?OPA?22?2，则P点的轨迹为以OA为直径的圆，此时圆的直角坐标方程
为(x?2)?y?4，化成极坐标方程为?=4cos?，又P在线段OM上，由????4sin?可
??4cos??得???4，∴P点轨迹的极坐标方程为?=4cos?(???????,?). ?42?
23.选修4-5（不等式选讲）
已知f(x)?x?ax?x?2(x?a)。 （1）当a?1时，求不等式f(x)?0的解集； （2）若x?(??,1)时，f(x)?0，求a的取值范围。 答案： 略 解答：
?2x2?4x?2(x?2),?（1）当a?1时，f(x)?x?1x?x?2(x?1)??2x?2(1?x?2),
??2x2?4x?2(x?1).??2x2?4x?2?0?2x?2?0??2x2?4x?2?0所以不等式f(x)?0等价于?或?或?解得不等
1?x?2x?2x?1???式的解集为xx?2。
（2）当a?1时，由x?(??,1)，可知f(x)?2(a?x)(x?1)?0恒成立，当a?1时根据条件可知f(x)?0不恒成立。所以a的取值范围是a?1。
??
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