高中同步创新课堂数学优化方案北师大必修4习题：第二章§221应用案巩固提升 含答案

[A 基础达标]

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1．在四边形ABCD中，若AC＝AB＋AD，则( ) A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形

解析：选D.由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD是平行四边形．故选D. →→→

2．如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＋DC＋BA＝( )

→

A.BD →C.BC

→B.DB →D.CB

→→→→→→→→

解析：选C.BC＋DC＋BA＝BC＋(DC＋BA)＝BC＋0＝BC.

3．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为( )

A．5 C．3

B．4 D．2

解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a＋b＋c相等，故选A. →→→→→

4．在矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，则向量AB＋AD＋AC的长度等于( ) A．25 C．12

B．45 D．6

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解析：选B.因为AB＋AD＝AC，所以AB＋AD＋AC的长度为AC的模的2倍，故选B. →→→→

5．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.其中正确的是( )

A．①③ C．②④

B．②③ D．①②

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解析：选A.因为在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，所以a为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，

②④错误．

6．当非零向量a，b满足________时，a＋b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角． 解析：由平面几何知识知，在平行四边形中，菱形的对角线平分其内角． 答案：|a|＝|b|

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7．已知G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝________． 解析：

→

如图，连接AG并延长交BC于E，点E为BC中点，延长AE到D，使GE＝ED，则GB→→→→

＋GC＝GD，GD＋GA＝0，

→→→

所以GA＋GB＋GC＝0. 答案：0

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8．在平行四边形ABCD中，若|BC＋BA|＝|BC＋AB|，则四边形ABCD是________(图形)． →→→→→→解析：如图所示，BC＋BA＝BD，BC＋AB＝AC， →→→→又|BC＋BA|＝|BC＋AB|，

→→

所以|BD|＝|AC|，则四边形ABCD是矩形． 答案：矩形

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9．如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋→AQ.

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证明：AB＝AP＋PB，AC＝AQ＋QC， →→→→→→所以AB＋AC＝AP＋PB＋AQ＋QC. →→

因为PB与QC大小相等，方向相反，

→→

所以PB＋QC＝0，

→→→→→→故AB＋AC＝AP＋AQ＋0＝AP＋AQ.

10．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力的大小．

解：如图，在平行四边形OACB中，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则在△OAC中，→→→

∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，设向量OA，OB分别表示两根绳子的拉力，则CO表→

示物体的重力，|CO|＝300 N，

→→

所以|OA|＝|CO|cos 30°＝1503 N， →→

|OB|＝|CO|cos 60°＝150 N.

所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503 N， 与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.

[B 能力提升]

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1．已知|OA|＝3，|OB|＝3，∠AOB＝60°，则|OA＋OB|＝( ) A.3 C．23

B．3 D．33

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解析：选D.在平面内任取一点O，作向量OA，OB，以OA，OB为邻边作?OACB，则OC→→→

＝OA＋OB.由题意知四边形OACB为菱形，又∠AOB＝60°，所以|OC|＝2×3×sin 60°＝33.

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2．若|AB|＝10，|AC|＝8，则|BC|的取值范围是________． 解析：