∴EF＝k，∴CH的长为k.
,中考考点清单)
比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．
ab2
2．比例中项：如果＝，即b＝__ac__，我们就把b叫做a，c的比例中项．
bc
3．比例的性质
性质 内容 ac＝?__ad__＝bc(a，b，c，d≠0)． bd性质1 aca±bc±d如果＝，那么＝. bdbdacma＋c＋…＋mm性质3 如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，则＝__(不唯一)__. bdnb＋d＋…＋nnACBC4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使＝____，那么点C叫做线段AC的__黄金分割
ABAC
点__，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做__黄金比__．
性质2 相似三角形的判定及性质
5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
6．性质：
(1)相似三角形的__对应角__相等；
(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；
(3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__． 7．判定：
(1)__有两角__对应相等，两三角形相似；
(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似； (3)三边__对应成比例__，两三角形相似；
(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似． 【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)；
(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]； (3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．
ABDE
如：＝，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．
BCEF
相似多边形
5
8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
9．性质：
(1)相似多边形的对应边__成比例__； (2)相似多边形的对应角__相等__；
(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__． 位似图形
10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．
11．性质：
(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k或－k__；
(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．
12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．
13．画位似图形的步骤： (1)确定__位似中心__； (2)确定原图形的关键点；
(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点；
(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
,中考重难点突破)
比例的性质 abc
【例1】已知＝＝，且3a－2b＋c＝20，则2a－4b＋c的值为________．
543
【解析】比例的性质中常见题型，把a，b，c用含有相同字母的式子表达出来，再代入解方程即可． 【答案】－6
2x＋y
1．(2015沧州十三中一模)若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则的值是( A )
z－y
1010
A．－5 B．－ C. D．5
33
相似三角形的判定与性质
【例2】(茂名中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3 cm的速度向点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2 cm的速度向点B
10??运动，运动时间为t s?0 (1)如图①，若△BMN与△ABC相似，求t的值； (2)如图②，连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值． 【解析】(1)△BMN与△ABC相似，分两种情况：△BMN∽△BAC和△BMN∽△BCA，得对应线段成比例， 6 求得t的值；(2)过点M作MD⊥BC于点D，把BM，DM，BD，CN用t表示后，CD就可用t表示，证得△CAN∽△DCM，得对应线段成比例，得关于t的方程，求出t的值． 22【答案】解：(1)由题意知BA＝6＋8＝10(cm)，BM＝3t cm，CN＝2t cm， ∴BN＝(8－2t)cm. BMBN ①当△BMN∽△BAC时，有＝， BABC 3t8－2t20∴＝，解得t＝； 10811 BMBN ②当△BMN∽△BCA时，有＝， BCBA 3t8－2t32∴＝，解得t＝. 81023 2032 ∴当△BMN与△ABC相似时，t的值为或； 1123 (2)如图②，过点M作MD⊥CB于点D. 由题意得BM＝3t cm，CN＝2t cm， 69 DM＝BM·sinB＝3t·＝t(cm)， 105812 BD＝BM·cosB＝3t·＝t(cm)， 105 ?12?∴CD＝?8－t?cm. 5?? ∵AN⊥CM，∠ACB＝90°， ∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°， ∴∠CAN＝∠MCD. ∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°， ACCN ∴△CAN∽△DCM.∴＝， CDDM 62t13∴＝，解得t＝. 129128－tt 55 2．如图，不等长的两对角线AC，BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是( B ) A．甲、丙相似，乙、丁相似 B．甲、丙相似，乙、丁不相似 C．甲、丙不相似，乙、丁相似 D．甲、丙不相似，乙、丁不相似 1 3．(自贡中考)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边的中点，求证：DE綊BC. 2 7 证明：∵D是AB的中点，E是AC的中点， AD1AE1∴＝，＝， AB2AC2ADAE∴＝. ABAC 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. ADDE1 ∴＝＝，∠ADE＝∠B， ABBC2 ∴BC＝2DE，BC∥DE， 1 即DE綊BC. 2 位似图形 【例3】(2016承德二中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形 1 OABC面积的，那么点B′的坐标是( D ) 4 A．(－2，3) B．(2，－3) C．(3，－2)或(－2，3) D．(－2，3)或(2，－3) 【解析】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′. 【答案】D 4．(2016沧州八中二模)如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为( B ) A．(1，2) B．(1，1) C．(2，2) D．(2，1) 8
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