上海交通大学期中考试高数试卷b类

2011级第一学期《高等数学》期中考试试卷 (B类)

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 已知数列?an?单调，下列结论正确的是 【 】 （A）limean存在； （B）limn??1存在；

n??1?a2n（C）limtanan存在； （D）limn??1存在。

n??1?a2n2. 当x?0?时，下列无穷小量中，与x同阶的无穷小是 【 】 （A）1?x?1；

（B）ln?1?x??x；

（D）xx?1。

n（C）cos?sinx??1；

3. 设f?x??xe?x，则f?n??x?? 【 】 （A）??1??1?n?xe?x； （B）??1??1?n?xe?x；

n（C）??1??x?n?e?x； （D）??1??x?n?e?x。

nn4. 若a2?3b?0，则方程x3?ax2?bx?c?0的实根数为 【 】 （A）3个； （B）2个； （C）1个； （D）0个。

5. 设y?f?x?在U?x0,??内连续，在U?x0,??内可导，以下是三个断语： （1）若f?x0??0，则存在?1?0，使得?x?U?x0,?1?，都有f?x??0； （2）若f'?x0?存在，则f'?x?在x?x0连续； （3）f'?x?在U?x0,??内无第一类间断点。

上述三个断语中，正确的个数是 【 】 （A）0个； （B）1个； （C）2个； （D）3个。

二、填空题（每小题3分，共15分） 6. 已知数列an通项an?n??oo??1，Sn为an的前n项部分和（n?1,2,3,?），

n2?4n?3??则limSn? 。

x3?3x2?x?37. 函数y?的第一类间断点是 。 2x?x?6?x??，f'?x??arctan?1?x2?，则dy|x?0?___________。 8. 已知y?f??2??x?1??x?etsin2t9. 曲线?在点t?0处的切线方程为：______________________。 t?y?ecost B-1

1??xnsin,x?010. f?x???有连续的导数（n?Z?），则n的取值范围是 。 xx?0??0,

三、求极限（每小题8分，共24分） 11. 用极限定义证明：limx?21?1。 x?1ex?ln?1?x??112. 计算极限lim。

x?0x?arctanx13. lim?cos2x?x。

21x?0

四、求导数（每小题8分，共16分）

14. 设y?y?x?由方程eysinx?y?1?0确定，求y''?0?。

?x3x,x?015. 设f?x???，求f''?x?。

?x?1,x?0

五、（本题10分）

16. 已知y?f?x?在???,???可导，且f'?x??L?1（L是常数）， x0满足f?x0??x0。 对任意取定的x1，定义xn?1?f?xn?，n?1,2,?。 (1) 证明：limxn?x0；

n??(2) 当f?x??

arctanx?x时，求limxn。

n??2六、（本题12分）

17. 已知平面坐标系xOy中有一区域D：x2?4y2?5。现将一光源点P置于直线

0?位于阴影边缘，求点P的x?3上，光线被区域D遮挡产生阴影。若点??5，坐标。

七、（本题8分）

18. 已知非负函数y?f(x)在?0,???上可导，且f?2x??f?x??1。证明：

(1) 存在常数M，使得当x?1时，0?f?x??M?log2x; (2) limx???f?x??0；

x(3) 若limf'?x??A，则A?0。

x??? B-2